题解-[HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有连续编号为 1…N1…N1…N 的 NNN 个房间，每个房间关押一个犯人，有 MMM 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。
输入格式

输入两个整数 M,N

输出格式

可能越狱的状态数，模 100003100003100003 取余
输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

6

说明/提示

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

1≤M≤1081 \le M \le 10^81≤M≤108
1≤N≤10121 \le N \le 10^{12}1≤N≤1012

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题目分析

大致思路

将所有的方案数累计在一起，也就是m^n，再用所有的方案数减去我们选中的所有不能够逃脱的方案数相减，剩下的就是我们累积的方案数。

解析

取最左边的犯人,得该犯人可能信仰的宗教数量是m，素以不可能有方案数m×(m−1)^n−1， 那么就可以第一次有m个选择权，第二个有m-1种方案，第三个有m-1种方案，所以，以此类推，找出规律：m^n− m×(m−1)^n−1种方案，由于这个n的范围很大，所以我们只用快速幂来解决问题。

快速幂

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假设我们要求a^b， 那么其实b是可以拆成二进制的，