题解-[HNOI2008]越狱

该博客介绍了[HNOI2008]越狱题目,包括题目描述、输入输出格式以及解题思路。博主分析了如何计算可能越狱的状态数,提出使用快速幂算法优化计算过程,降低时间复杂度。博客提供了部分代码实现,并讨论了快速幂算法的工作原理。

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题目描述

监狱有连续编号为 1…N1…N1…N 的 NNN 个房间,每个房间关押一个犯人,有 MMM 种宗教,每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同,就可能发生越狱,求有多少种状态可能发生越狱。
输入格式

输入两个整数 M,N

输出格式

可能越狱的状态数,模 100003100003100003 取余
输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

6

说明/提示

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

1≤M≤1081 \le M \le 10^81≤M≤108
1≤N≤10121 \le N \le 10^{12}1≤N≤1012


题目分析

大致思路

将所有的方案数累计在一起,也就是m^n,再用所有的方案数减去我们选中的所有不能够逃脱的方案数相减,剩下的就是我们累积的方案数。

解析

取最左边的犯人,得该犯人可能信仰的宗教数量是m,素以不可能有方案数m×(m−1)^n−1, 那么就可以第一次有m个选择权,第二个有m-1种方案,第三个有m-1种方案,所以,以此类推,找出规律:m^n− m×(m−1)^n−1种方案,由于这个n的范围很大,所以我们只用快速幂来解决问题。

快速幂

首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:
假设我们要求a^b, 那么其实b是可以拆成二进制的,

### 东方博宜 OJ 1765 题解或解题思路 由于当前引用中并未直接提及东方博宜 OJ 平台编号为 1765 的题目内容及解法,以下将基于已有的引用信息和常规竞赛编程问题的解决方法,提供一种可能的分析与解答框架。 #### 可能的题目类型 根据东方博宜 OJ 平台的特点以及引用中的其他题目[^1],可以推测 1765 题目可能涉及以下领域之一: - 数据结构操作(如数组、链表、栈等) - 算法设计(如排序、搜索、动态规划等) - 字符串处理 - 数学计算 假设该题目属于常见算法题型之一,以下将从数据结构操作的角度进行分析。 #### 数据结构操作示例 若题目要求对一个序列进行多次操作(如插入、删除、排序等),可以参考引用 [4] 中的代码逻辑。以下是类似的实现方式: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n, m; // n: 初始序列长度, m: 操作次数 cin >> n >> m; vector<int> v; // 存储初始序列 for (int i = 0; i < n; i++) { int opt; cin >> opt; v.push_back(opt); } for (int i = 1; i <= m; i++) { int opt, x; cin >> opt >> x; vector<int>::iterator it = v.begin(); if (opt == 1) { // 插入 int y; cin >> y; v.insert(it + x, y); } else if (opt == 2) { // 删除 v.erase(it + x - 1); } else if (opt == 3) { // 排序 int y; cin >> y; sort(it + x - 1, it + y); } else if (opt == 4) { // 反转 int y; cin >> y; reverse(it + x - 1, it + y); } else { // 自定义操作 int y, z; cin >> y >> z; for (int j = --x; j < y; j++) { if (v[j] == z) { v.erase(it + j); j--; y--; } } } } for (int i = 0; i < v.size(); i++) { cout << v[i] << " "; } return 0; } ``` 此代码适用于多操作场景下的序列管理问题,具体功能已在注释中标明[^4]。 #### 字符串处理示例 如果题目涉及字符串操作,例如生成特定格式的输出,可以参考引用 [5] 的代码逻辑。以下是类似的应用: ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { char c; int n; cin >> c >> n; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = 1; j <= n - i; j++) { cout << ' '; } for (int j = 1; j <= 2 * i - 1; j++) { cout << char(c + j - 1); } cout << endl; } return 0; } ``` 此代码用于生成字符三角形,可根据实际题目需求调整逻辑[^5]。 #### 解题思路总结 在没有明确题目描述的情况下,建议从以下几个方面入手: 1. 分析输入输出格式,明确问题核心。 2. 根据问题特点选择合适的数据结构或算法。 3. 编写代码时注意边界条件和特殊情况的处理。
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