【欧拉函数】BZOJ2705 [SDOI2012]Longge的问题

原创于 2017-12-10 19:08:29 发布 · 337 阅读

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#欧拉函数 #BZOJ

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本文介绍了一种针对特定数论求和问题的有效优化方法，通过数学推导展示了如何利用欧拉函数φ来减少计算复杂度，并提供了一个C++实现示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面在这里

考虑如下：

\sum i = 1 n (i, n) = \sum d | n d \sum i d \leq n [(i d, n) = d] = \sum d | n d \sum i = 1 n d [(i, n d) = 1] = \sum d | n d \cdot φ (n d)

$\sum_{i=1}^n (i,n) \\ =\sum_{d|n}d\sum_{id\le n} [(id,n)=d] \\ =\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac n d} [(i,\frac n d)=1] \\ =\sum_{d|n}d\cdot\varphi(\frac n d)$
然后直接暴力就好了

示例程序：

#include<cstdio>
#include<cmath>
typedef long long ll;

ll n,N,ans;
ll phi(int x){
    int res=x,ti=sqrt(x);
    for (int i=2;i<=ti;i++)
     if (x%i==0){
        res=res/i*(i-1);
        while (x%i==0) x/=i;
     }
    if (x>1) res=res/x*(x-1);
    return res;
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);N=sqrt(n);
    for (int i=1;i<=N;i++)
     if (n%i==0){
        ans+=i*phi(n/i);
        if ((ll)i*i<n) ans+=(n/i)*phi(i);
     }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}