【斐波那契数列】51Nod 1350 斐波那契表示

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一道神奇的数学题……

首先需要了解：将一个数每次减去最大可减的斐波那契数，一定是最优的方案之一

以下用 $f_i$ 表示斐波那契数列的第i项

则有：

G f i - 1 = G f i - 1 - 1 + G f i - f i - 1 - 1 + f i - f i - 1 \Rightarrow G f i - 1 = G f i - 1 - 1 + G f i - 2 - 1 + f i - 2

$G_{f_i-1}=G_{f_{i-1}-1}+G_{f_i-f_{i-1}-1}+f_i-f_{i-1} \\ \Rightarrow G_{f_i-1}=G_{f_{i-1}-1}+G_{f_{i-2}-1}+f_{i-2}$
于是我们可以预处理出

fi $f_i$ ，以及

Gi $G_i$ 的一些特殊位置

现在询问任意 $G_n$ （以下记为 $Sum(n)$ ），其实一样的思路，设 $m$ 为小于 $n$ 的最大的斐波那契数

S u m (n) = S u m (n - m) + n - m + 1 + G m

$Sum(n)=Sum(n-m)+n-m+1+G_m$
由于斐波那契数列是接近于指数增长的，所以可以看做

O(log2n) $O(log^2n)$ 的复杂度（二分找m

O(logn) $O(logn)$ ）

当然，程序实现时用 $G_i$ 代表 $G_{f_i-1}$

示例程序：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=105;
typedef long long LL;
LL tst,n,nn,f[maxn],G[maxn];
LL sum(LL n){
    if (n<=3) return n;
    int i=upper_bound(f,f+1+nn,n)-f-1;
    return G[i]+sum(n-f[i])+n-f[i]+1;
}
int main(){
    f[0]=0;f[1]=f[2]=1;f[3]=2;
    G[1]=G[2]=0;G[3]=1;
    for (int i=4;;i++){
        f[i]=f[i-1]+f[i-2];
        G[i]=G[i-1]+G[i-2]+f[i-2];
        if (f[i]>1e17) {nn=i;break;}
    }
    scanf("%lld",&tst);
    while (tst--)
     scanf("%lld",&n),printf("%lld\n",sum(n));
    return 0;
}