BZOJ2705 || 洛谷P2303 [SDOi2012]Longge的问题【欧拉函数】

最新推荐文章于 2019-08-25 19:30:00 发布

niiick

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分类专栏：数学;数论

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本文探讨了一个有趣的数学问题，即给定整数N，求∑gcd(i,N) (1≤i≤N) 的值。通过数学推导，将原始问题转化为∑i=1^n(i*φ(n/i))(i|n)的形式，给出了一种高效的解决方案。

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

HINT

【数据范围】
对于60%的数据，0< N <= 2^16
对于100%的数据，0< N <= 2^32

题目分析

~~数学题不讲废话~~
$\sum_{i=1}^ngcd(i,n)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow$
$\sum_{i=1}^n(i*\sum_{j=1}^n[gcd(j,n)==i])$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow$
$\sum_{i=1}^n(i*\sum_{j=1}^n[gcd(\frac{j}{i},\frac{n}{i})==1])(i\mid j,i\mid n)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow$
$\sum_{i=1}^n(i*\varphi(\frac{n}{i}))(i\mid n)$

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long lt;

lt read()
{
    lt f=1,x=0;
    char ss=getchar();
    while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}
    while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}
    return f*x;
}

lt phi(lt x)
{
    lt ans=x;
    for(lt i=2;i<=sqrt(x);++i)
    {
        if(x%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0)x/=i;
        }
    }
    if(x>1)ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

lt solve(lt x)
{
    lt ans=0,i=1;
    for(;i*i<x;++i)
    if(x%i==0) ans+=i*phi(x/i)+(x/i)*phi(i);
    if(i*i==x) ans+=i*phi(x/i);
    return ans;
}

int main()
{
    lt n=read();
    printf("%lld",solve(n));
    return 0;
}