同余及其性质

把数论里的一些零散的知识总结一下……

【同余】

a模b，即a除以b的余数，记做”a mod b”或”a%b”。
同余，用符号≡表示，若a%m=b%m则称a与b关于m同余，记做”a≡b (mod m)”
本文中，a与b的最大公约数记为(a,b)，最小公倍数记为[a,b]，a能整除b记为a|b

【同余的几个性质】

性质1：a≡a（mod m），（反身性）
性质2：若a≡b（mod m），那么b≡a（mod m）（对称性）
性质3：若a≡b（mod m），b≡c（mod m）=>a≡c（mod m）（传递性）
这三个性质比较简单，不做证明
性质4：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么a±c≡b±d（mod m）（可加减性）
证明：设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则(a±c)%m=(A±C) (b±d)%m=(A±C)即a±c≡b±d（mod m）
性质5：若a≡b（mod m），c≡d（mod m），那么ac≡bd（mod m）（可乘性）
证明：设a=A+Ka*m,b=A+Kb*m,c=C+Kc*m,d=C+Kd*m则ac=( A+Ka*m)( C+Kc*m),bd=( A+Kb*m)( C+Kd*m)所以ac%m=AC bd%m=AC即ac≡bd（mod m）
性质6：若a≡b（mod m），那么an≡bn（mod m）（其中n为自然数）
证明：由性质1和性质5得。
性质7：若ac≡bc（mod m），（c，m）=1，那么a≡b（mod m）
证明：ac≡bc（mod m）=>c(a-b)≡0（mod m）=>c%m*(a-b)%m=0 =>m|c或m|(a-b)又因为(m,c)=1.所以m|(a-b)即a≡b（mod m）
性质8：若a≡b（mod m），那么a^t≡b^t（mod m）
证明：由性质5得。
性质9：若 a≡b(mod m1) a≡b(mod m2)…. a≡b(mod mk) 则 a≡b(mod [m1,m2……mk])
证明：由题意得mi|(a-b) （1<=i<=k）即(a-b)是mi的公倍数，所以[m1,m2……mk]|(a-b)即a≡b(mod [m1,m2……mk])