多项式与快速傅里叶变换

前言

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）是计算序列的离散傅里叶变换（DFT）或其逆变换（IDFT）的一种算法。

一般用于快速计算多项式乘法。

预备知识

单位复数根

n次单位复数根是满足$\omega ^n=1$的复数$\omega$

显然n次单位复数根恰好有n个

根据复数的指数形式定义：

$$e^{iu}=cos(u)+i\times sin(u)$$
可以得到如下引理：

1. 消去引理：对任何整数$n\ge 0,k\ge 0$以及$d\gt 0$，有$\omega _{dn}^{dk}=\omega _n^k$
2. 折半引理：如果$n\gt 0$为整数，则n个n次单位复数根的平方构成的集合就是n/2个n/2次单位复数根的平方的集合
3. 求和引理：对任意整数$n\ge 1$和不能被n整数的非负整数k，有$\sum_{j=0}^{n-1}(\omega _n^k)^j=0$

多项式的表示方法

对于一个次数界为n的多项式

$$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$$

我们可以用n维向量$(a_0,a_1……a_{n-1})$来表示多项式的系数，这就是多项式的系数表示

或者将n个值$x_i$代入多项式，得到n个值$y_i</scri$