51nod1251 Fox序列的数量组合数+容斥

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容斥原理

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Description

一个单调非递减序列被称为 Fox 序列，当且仅当序列里边出现频率最高的元素是唯一的。
例如：序列 1, 1, 2, 3, 4 是一个 Fox 序列, 因为它符合定义。出现频率最高的元素是1，它出现了2次，并且没有别的元素出现的次数为2。
但是序列 1, 1, 2, 2 不是 Fox 序列, 因为1 和 2 都出现了2次，不是唯一的。
注意: 序列 2, 1, 1 不是 Fox 序列, 因为他不是单调非递减的序列。
给出N，M，计算有多少个长度为N的 Fox 序列，满足序列的所有元素都 >= 1并且 <= M。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。
例如：N = 3，M = 2。满足条件的序列为：1 1 1, 2 2 2, 1 1 2, 1 2 2，共4个。

Solution

不妨枚举最大出现次数i，那么剩余的数字出现次数不得大于i
考虑容斥，我们枚举至少j个数字出现了至少i次，然后系数是(-1)^j就可以了

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000007;
const int N=200005;

LL fac[N],ny[N];

int read() {
	int x=0,v=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';v=(ch=='-')?(-1):(v),ch=getchar());
	for (;ch<='9'&&ch>='0';x=x*10+ch-'0',ch=getchar());
	return x*v;
}

LL ksm(LL x,LL dep) {
	LL res=1;
	for (;dep;dep>>=1) {
		(dep&1)?(res=res*x%MOD):0;
		x=x*x%MOD;
	}
	return res;
}

LL C(int n,int m) {
	if (n<m) return 0;
	return fac[n]*ny[m]%MOD*ny[n-m]%MOD;
}

int main(void) {
	fac[0]=1; rep(i,1,N-1) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	ny[0]=1; rep(i,1,N-1) ny[i]=ksm(fac[i],MOD-2);
	int T=read();
	for (;T--;) {
		int n=read(),m=read();
		if (n==1) {printf("%d\n", m); continue;}
		if (m==1) {printf("%d\n", 1); continue;}
		LL ans=0;
		rep(i,2,n) {
			ans=(ans+C(n-i+m-2,m-2))%MOD;
			rep(j,1,m-1) {
				if (n+m-i*j-2<m-2) break;
				LL tmp=C(n-i*j+m-i-2,m-2)%MOD*C(m-1,j)%MOD;
				if (j&1) ans=(ans+MOD-tmp)%MOD;
				else ans=(ans+tmp)%MOD;
			}
		}
		printf("%lld\n", ans*m%MOD);
	}
	return 0;
}