51nod 1269 Devu and Flowers（容斥原理）

最新推荐文章于 2022-02-26 16:52:46 发布

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本文探讨了在特定约束条件下，使用容斥原理解决组合数学问题的方法。通过一个实例问题，详细介绍了如何利用隔板法及容斥原理来计算放置花朵的不同方案数，并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

和《组合数学》里面将生成函数那里的几个例题差不多。根据给出的数据，列出来 $(1+x)*(1+x+x^2+x^3)*(1+x+x^2)$ ，展开后就能得到结果。不过看了看Si的范围就懵逼了。乖乖的找题解：http://www.cnblogs.com/L-Ecry/p/3898771.html

思路：这就相当于把k朵花放到n个瓶子里，有多少方法，如果没限制的话，隔板法就好了。可是这里有限制，就要容斥了，如果一个瓶子里放的花的数量超出瓶子放花数量的上线，就减掉，如果两个瓶子同时超出上线的话，就加上。。。然后++–。。。
tle了好几发，发现我的lucas定理的板子有问题。。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL p = 1e9+7;
LL n,m;

LL quick_mod(LL a, LL b)
{
    LL ans = 1;
    a %= p;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
        {
            ans = ans * a % p;
            b--;
        }
        b >>= 1;
        a = a * a % p;
    }
    return ans;
}

LL C(LL n, LL m)
{
    if(m > n) return 0;
    LL a = 1,b = 1;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        a = a * (n + i - m) % p;
        b = b * i % p;
    }
    return a*quick_mod(b,p-2)%p;
}

LL Lucas(LL n, LL m)
{
    if(m == 0) return 1;
    return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
}

LL f[30],K;

void solve()
{
    int limit = (1<<n);
    int cnt;
    LL res = 0;
    LL sum;
    for(int i = 0; i < limit; ++i)
    {
        sum = K;
        cnt = 0;
        for(int j = 0; j < n; ++j)
        {
            if(i&(1<<j))
            {
                ++cnt;
                sum -= (f[j]+1);
            }
        }
        if(sum < 0) continue;
        if(!(cnt&1))
            res = (res + Lucas(sum+n-1,n-1))%p;
        else
            res = ((res - Lucas(sum+n-1,n-1))%p+p)%p;
    }
    cout << res <<endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> K;
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        cin >> f[i];
    solve();
    return 0;
}