1251 Fox序列的数量

Fox序列计数

最新推荐文章于 2025-06-08 08:17:51 发布

fyc_kabuto

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分类专栏：排列组合容斥原理

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本文介绍了一种特定类型的序列——Fox序列，并提供了一种计算给定长度和元素范围内的所有可能Fox序列数量的方法。通过数学公式和算法实现，解决了计算此类序列的问题。

题意：

一个单调非递减序列被称为 Fox 序列，当且仅当序列里边出现频率最高的元素是唯一的。
例如：序列 1, 1, 2, 3, 4 是一个 Fox 序列, 因为它符合定义。出现频率最高的元素是1，它出现了2次，并且没有别的元素出现的次数为2。
但是序列 1, 1, 2, 2 不是 Fox 序列, 因为1 和 2 都出现了2次，不是唯一的。
注意: 序列 2, 1, 1 不是 Fox 序列, 因为他不是单调非递减的序列。
给出N，M，计算有多少个长度为N的 Fox 序列，满足序列的所有元素都 >= 1并且 <= M。由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果。
例如：N = 3，M = 2。满足条件的序列为：1 1 1, 2 2 2, 1 1 2, 1 2 2，共4个。

题解：

枚举出现次数最多的数的个数，稍微容斥一下可得：

a n s = \sum i = 2 n C m - 1 n + m - 1 - i - 1 m + \sum j = 1 m - 1 (- 1) j C m - 2 n + m - 1 - i j - i - 1 C j m - 1 m

$ans=\sum_{i=2}^nC_{n+m-1-i-1}^{m-1}m+\sum_{j=1}^{m-1}(-1)^jC_{n+m-1-ij-i-1}^{m-2}C_{m-1}^jm$
因为

n+m−1−ij−i−1>m−2n+m−1−ij−i−1>m−2 $n+m-1-ij-i-1>m-2$ 所以这个式子是可以

nlognnlogn $nlogn$ 算出来的。
code：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const LL mod=1e9+7;
LL f[200010],inv[200010];
int n,m;
void pre()
{
    f[0]=f[1]=inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=200010;i++) f[i]=f[i-1]*i%mod,inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=2;i<=200010;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;
}
LL C(int n,int m)
{
    if(n>m) return 0;
    return f[m]*inv[m-n]%mod*inv[n]%mod;
}
int main()
{
    pre();
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d %d",&n,&m);
        if(m==1) {printf("1\n");continue;}
        if(n==1) {printf("%d\n",m);continue;}
        LL ans=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            ans=(ans+C(m-2,n+m-1-i-1))%mod;
            for(int j=1;j<=m-1;j++)
            {
                if(n+m-1-i*j-i-1<m-2) break;
                ans=(ans+((j&1)?-1:1)*C(m-2,n+m-1-i*j-i-1)*C(j,m-1)%mod)%mod;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans*m%mod);
    }
}