【XSY3919】线图（树形dp，分类讨论）

最新推荐文章于 2022-03-11 20:02:33 发布

ez_lcw

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分类专栏： # 分块/分类讨论 # 树形dp

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本文深入探讨了一道关于图论的复杂题目，通过对特定类型路径的分类讨论，给出了详细的求解过程。利用自定义的数据结构和算法技巧，解决了在特定类型的图中寻找最短路径的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

线图

题解

大力分类讨论题。

显然， $L (L (T))$ 中的点代表着 $T$ 上的一条三点链。

所以 $L (L (T))$ 上两点的最短路显然是沿着 $T$ 上两条三点链间的唯一路径走。

然后就可以大力分类讨论了。

有很多种情况，这里举一种情况吧：

在这里插入图片描述
如图，我现在想从红线框起来的三点链走到蓝线框起来的三点链。不妨设 $w_1<w_2$ ，那么 $dis=3w_1+w_2+W+3w_3+w_4$ 。

注意还要计算两条三点链重合的情况。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 500010
#define int long long
#define ll long long
#define mod 998244353
#define div2 499122177
#define div3 332748118

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,deg[N],fa[N];
int cnt,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];
int p[N];
ll ans,f[N],g[N];
ll val[N],sum[N],pre[N],suf[N],su[N],sv[N];
//f[i]：i子树内三点链的个数
//g[i]：i子树外三点链的个数 

void adde(int u,int v,int wi)
{
	to[++cnt]=v;
	w[cnt]=wi;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}

bool cmp(int a,int b)
{
	return val[a]<val[b];
}

void dfs(int u)
{
	f[u]=1ll*deg[u]*(deg[u]-1)%mod*div2%mod;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		if(v==fa[u]) continue;
		fa[v]=u;
		dfs(v);
		f[u]=(f[u]+f[v])%mod;
	}
}

void solve(int u)
{
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
		if(to[i]!=fa[u]) solve(to[i]);
	int tot=0;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
	{
		int v=to[i];
		sum[u]=(sum[u]+w[i])%mod;
		p[++tot]=v,val[v]=w[i];
		su[v]=(v==fa[u]?f[u]:g[v]);
		sv[v]=(v==fa[u]?g[u]:f[v]);
	}
	sort(p+1,p+tot+1,cmp);
	pre[0]=suf[tot+1]=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
		pre[i]=(pre[i-1]+sv[p[i]])%mod;
	for(int i=tot;i>=1;i--)
		suf[i]=(suf[i+1]+sv[p[i]])%mod;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		int v=p[i];
		ans=(ans+1ll*(tot-1)*(tot-2)%mod*div2%mod*4ll*val[v]%mod)%mod;//Y字形 
		if(v!=fa[u])
		{
			ans=(ans+(sv[v]-(deg[v]-1)+mod)*(su[v]-(deg[u]-1)+mod)%mod*4ll*val[v]%mod)%mod;//中间4倍的边 
			ans=(ans+1ll*(deg[u]-1)*(deg[v]-1)%mod*2ll*val[v]%mod+(sum[u]-val[v]+mod)*(deg[v]-1)%mod+(sum[v]-val[v]+mod)*(deg[u]-1)%mod)%mod;//四点链 
		}
		ans=(ans+1ll*(tot-1)*(sv[v]-(deg[v]-1)+mod)%mod*3ll*val[v]%mod+(sum[u]-val[v]+mod)*(sv[v]-(deg[v]-1)+mod)%mod)%mod;//端点连出 
		ans=(ans+1ll*(su[v]-1ll*deg[u]*(deg[u]-1)%mod*div2%mod+mod)%mod*(tot-2)%mod*val[v])%mod;//中点连出 
		ans=(ans+1ll*(su[v]-pre[i-1]+mod-1ll*deg[u]*(deg[u]-1)%mod*div2%mod+mod)%mod*(tot-i-1)%mod*2ll*val[v])%mod;//中点连出，当前边最小，且中点连出边比当前边大 
		ans=(ans+1ll*(su[v]-suf[i+1]+mod-1ll*deg[u]*(deg[u]-1)%mod*div2%mod+mod)%mod*(tot-i)%mod*2ll*val[v])%mod;//中点连出，当前边最小，且中点连出边比当前边小 
		ans=(ans+1ll*(tot-i)*(tot-i-1)%mod*(tot-i-2)%mod*div2%mod*div3%mod*9ll*val[v]%mod)%mod;//X字形，当前边为第1小边 
		ans=(ans+1ll*(i-1)*(tot-i)%mod*(tot-i-1)%mod*div2%mod*7ll*val[v]%mod)%mod;//X字形，当前边为第2小边 
		ans=(ans+1ll*(i-1)*(i-2)%mod*div2%mod*(tot-i)%mod*5ll*val[v]%mod)%mod;//X字形，当前边为第3小边 
		ans=(ans+1ll*(i-1)*(i-2)%mod*(i-3)%mod*div2%mod*div3%mod*3ll*val[v]%mod)%mod;//X字形，当前边为第4小边 
	}
}

signed main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		adde(u,v,w),adde(v,u,w);
		deg[u]++,deg[v]++;
	}
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=f[1]-f[i];
	solve(1);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}
/*
5
5 3 1
5 2 1
1 2 1
5 4 3
*/