ez_lcw的博客

题意：有一个无限大的整数表格 fff 满足以下两条法则：f(a,b)=f(b,a)f(a,b)=f(b,a)f(a,b)=f(b,a)。b×f(a,a+b)=(a+b)×f(a,b)b\times f(a,a+b)=(a+b)\times f(a,b)b×f(a,a+b)=(a+b)×f(a,b)。初始时 f(a,b)=a×bf(a,b)=a\times bf(a,b)=a×b。有 mmm 次修改，每次修改会改变某个位置，并将所有此次修改会影响到的所有位置按照法则重置一遍。每次修改完还会询问你前

记录一下推导这题的时候发现的一个东西。按照我一开始的推法，推出来是这个东西：∑i=1nμ2(i)⌊ni⌋2\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\mu^2(i)\left\lfloor\sqrt{\frac{n}{i}}\right\rfloor^2\end{aligned}i=1∑n​μ2(i)⌊in​​⌋2​其中 ⌊ni⌋2\left\lfloor\sqrt{\dfrac{n}{i}}\right\rfloor^2⌊in​​⌋2 就是在 [1,ni]\left[1,\dfr

题意：求 (∑i=1n2f(i)) mod 998244353\left(\sum\limits_{i=1}^n2^{f(i)}\right)\bmod 998244353(i=1∑n​2f(i))mod998244353，其中 f(i)f(i)f(i) 表示 iii 的不同质因子的个数，n≤1014n\leq 10^{14}n≤1014。一开始发现 g(x)=2f(x)g(x)=2^{f(x)}g(x)=2f(x) 是积性函数以为能直接 min_25 筛（结果时间爆炸（考虑 2f(i)2^{f(i

明显地，这个QQ数可以用 μ\muμ 表示，于是询问就变成了这样：∑i=1n∑d∣i(1−μ(d)2)=∑d=1n⌊nd⌋(1−μ(d)2)\begin{aligned}& \sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\left(1-\mu(d)^2\right)\\=& \sum_{d=1}^n\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor\left(1-\mu(d)^2\right)\end{aligned}=​i=1∑n​d∣i∑​(1−μ(d)2

先把题目的柿子推一下：∑i=1n∑j=1mlcm(i,j)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}lcm(i,j)i=1∑n​j=1∑m​lcm(i,j)由于lcm(i,j)∗gcd(i,j)=ijlcm(i,j)*gcd(i,j)=ijlcm(i,j)∗gcd(i,j)=ij=∑i=1n∑j=1mijgcd(i,j)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}...