[XSY] 树与图（树形DP、生成函数、分治NTT、重链剖分）

树与图

• 如果真的在图上跑算法，那么光建图复杂度就$O(n^{2}logn)$了，这显然不可行。所以一定要把 在图上的操作 转换成 在树上的操作
• 在图上删去点u，相当于在树上删去u到根节点的链，并把u的整棵子树删掉
• 如果我们枚举算法可能产生的所有过程，然后再去求每个过程对应的删点次数，那么光枚举过程就已经可以T爆了
• 所以我们只能枚举删点次数，然后求出该删掉次数对应多少种过程
• 这可以用树形DP实现，时间复杂度$O(n^3)$
• 可以想到用生成函数进一步优化，即用次数来代表删点次数，系数来代表可能过程种数，这样合并两棵子树时直接用NTT把两棵子树的多项式乘起来即可
• 这样会产生两个问题：

1. 代码中每一步合并乘的$C_{j+k}^k$怎么办？

2. NTT的时间复杂度是$O(nlogn)$$(这里n指多项式的最高次数)$，这样总时间复杂度就是$O(n^{3}logn)$，怎么还变大了？

   就是这两个问题让我在考场上没有继续写下去

• 对于第一个问题，我后来想到，其实不一定要在DP过程中乘$C_{j+k}^k$，DP完后再统一乘$（删点次数）！$来定序也是可行的
• 对于第二个问题，在更新u时，直接用 分治NTT 把u的所有儿子上的多项式 一起 乘起来，不要那么傻逼想着用NTT一个接一个乘
  这样时间复杂度降为$O(n^{2}lo{g}^{2}n)$，但还是会T
• 题目的时间复杂度很大程度上取决于NTT时多项式的最高次数，而多项式次数与删点次数有关，所以考虑一下我们最多能删几个点
• 发现所选的要删的点满足如下规律：所选的任意两个点都不互为祖先关系，且从根到每个叶子的路径上都恰好有一个被选择的点
• 即$u点的多项式的最高次数<=u子树内叶节点的个数$，进一步地，因为每个节点的多项式最高次数至少为1，所以$u点的多项式最多是(u子树内叶节点个数)个多项式相乘的结果$
• 设$lea{f}_u$表示u的子树中叶子的个数，则在u点分治NTT的时间总和$<=lea{f}_u(lo{g}^{2}lea{f}_u)$，整道题的总时间$<={\sum }_{u=1}^{n}lea{f}_u(lo{g}^{2}lea{f}_u)$
• 考虑两种极端情况，一种是菊花图，一种是一条很长的树链，上面随机的挂上一些类似菊花图（深度小但点度数大）的子树
• 按照上面的做法，菊花图的时间复杂度可以做到$O(nlo{g}^{2}n)$，树链的时间复杂度却逼近$O(n^{2}lo{g}^{2}n)$
• 我们考虑给树链换一种做法：
  枚举在链上删了哪个点，这样一来整条链和被删点的子树都会被删除，而被删点上方的子树不会被删除，并且相互独立了。
  因此，如果链上的点的多项式为$F_1(x),F_2(x),F_3(x)...$(按点深度由浅到深编号)，那么最后求出这条链的多项式为：$F_1(x)+F_1(x)F_2(x)+F_1(x)F_2(x)F_3(x)...$
  用分治NTT做，总时间 < = l e a f 1 ( l o g 2 l e a f 1 ) <=leaf_1(log^2leaf_1) <=leaf