【HEOI2015】兔子与樱花（贪心）

最新推荐文章于 2022-01-26 15:10:48 发布

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树形dp

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贪心

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本文介绍了一种使用贪心策略从下往上处理树形结构中的节点删除问题的方法，通过递归处理子树并排序节点负载，实现最大化的节点删除数。文章详细解释了算法思路，并附带完整代码实现。

首先想一下题目中的操作如何转化：

当一个节点被去掉之后，这个节点上的樱花和它的儿子节点都被连到删掉节点的父节点上。

设当前节点为 $u$ ， $u$ 的父节点为 $f a$ ，儿子个数为 $son_u$ 。那么当我们把节点 $u$ 删去时， $f a$ 的樱花数会加上 $c_u$ ，儿子个数会加上 $s o n - 1$ （减 $1$ 是因为 $u$ 本来是 $f a$ 的儿子但被删去了）。

那么删去一个节点对其父亲的负载增加值就被我们算出来了，设为 $val_i=c_u+son_u-1$ 。

想了想 dp 做法没能想出来，于是想了一下贪心。

考虑从下往上贪心，设当前节点为 $u$ ，先递归处理删除 $u$ 的子树内除了 $u$ 和 $u$ 的儿子的节点（不妨把这些节点称为孙子节点，~~尽管它们可能是 u 的孙子、曾孙子、曾曾孙子~~）的最大贡献，再考虑删除 $u$ 的儿子的最大贡献，然后回溯。

如何处理删除 $u$ 的儿子对 $u$ 的贡献？我们可以把 $u$ 的儿子按它们的负载（孙子节点被删完后的负载），然后从小往大地删除，直到不能删为止（ $u$ 的负载要大于 $m$ 时）。这样就能保证在有限的负载增加值中删去最多的节点。

为什么从下往上贪心是对的？

我们先画个图：

结合上面这个图，认为贪心不正确的人就会说：有没有可能我在 $u = 2$ 的时候删去了 $3$ 号节点，增加了 $2$ 节点的负载。导致在 $u = 1$ 的时候 $2$ 节点因为负载过大而不能被删去。想一想，发现要删除 $2$ 节点可能要取消删除 $2$ 子树内的很多个节点，才能删除 $2$ 节点，这样会使删除的节点数减少或不变，所以不如直接从下往上贪心。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 2000010

using namespace std;

int n,m,ans,val[N],a[N];
int cnt,head[N],nxt[N],to[N];

void adde(int u,int v)
{
	to[++cnt]=v;
	nxt[cnt]=head[u];
	head[u]=cnt;
}

void dfs(int u)
{
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) dfs(to[i]);//先递归
	int tot=0;
	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) a[++tot]=val[to[i]];//把每个子节点的负载值加入排序数组
	sort(a+1,a+tot+1);//排序
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		if(val[u]+a[i]-1<=m)//贪心取
		{
			val[u]+=a[i]-1;
			ans++;
		}
		else break;
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int k;
		scanf("%d",&k);
		val[i]=val[i]+k;//重新设置val
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			int v;
			scanf("%d",&v);
			v++;//注意！
			adde(i,v);
		}
	}
	dfs(1);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}