[构造分治] UOJ#143. 【UER #5】万圣节的数列

Lynstery

于 2017-10-16 14:12:37 发布

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本文提出了一种通过递归将数列按二进制最低位划分并右移的方法，来避免形成长度大于等于3的等差序列。该算法利用奇偶性分组策略，确保不会出现跨组等差子序列，复杂度为O(nlogn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

构造题。~~好像找到了manchery搬的题的原题~~
首先，长度为1,2的等差序列是不可避免的。我们需要尽量减少长的等差序列。
最好就是长度大于等于3的一个都没有。怎么做到呢?
考虑3个数 $i<j<k,\ a_j-a_i<a_k-a_j$ ， $i$ 和 $j$ 的奇偶性相同。
所以我们把奇偶分成两边，这样就不存在跨过中线的等差子序列。
这样就有了一个解法：我们递归求解，每次根据2进制最末位分成两半，并右移一位。直到所有数都相等时，不能再分了。
这样是 $O(nlogn)$ 的。可以证明是对的。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=505;
int n,a[maxn],b[maxn],c[maxn];
void Solve(int L,int R,int now){
    if(now>30||L>=R) return;
    int p1=L,p2=R;
    for(int i=L;i<=R;i++) if((a[c[i]]>>now)&1) b[p1++]=c[i]; else b[p2--]=c[i];
    for(int i=L;i<=R;i++) c[i]=b[i];
    Solve(L,p1-1,now+1); Solve(p1,R,now+1);
}
int main(){
    freopen("uoj143.in","r",stdin);
    freopen("uoj143.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]), c[i]=i;
    Solve(1,n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",c[i]); 
}