[DP] BZOJ1025: [SCOI2009]游戏

题意

windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按
顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们
对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。
如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6
windy的操作如下
1 2 3 4 5 6
2 3 1 5 4 6
3 1 2 4 5 6
1 2 3 5 4 6
2 3 1 4 5 6
3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6
这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可
能的排数。
$n \le 1000$

题解

蛮简单的吧。
首先这个肯定是构成若干个环，行数即是所有的环大小的 $lcm$ 。
所以问题转化为把 $n$ 拆分成若干个数，其 $lcm$ 的种类数。
怎么做呢？考虑 $lcm=M$ 什么时候成立：
$M=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}...p_t^{k_t}$
因为 $lcm$ 相当于每个 $p$ 的次数取 $max$，所以显然只需要考虑对答案有贡献的形如 $p_i^{k}$ 这种数，多出来的用1填即可。
所以若$p_1^{k_1}+p_2^{k_2}+p_3^{k_3}...+p_t^{k_t}\le n$成立，则 $lcm=M$ 成立。
然后就可以 $DP$ 啦：设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个素数，素数的幂加和为 $j$ 的方案数。
复杂度是没问题的：$O(n/ln(n)*n*log_p n)$ 可以看做$O(n^2)$，而且要小很多。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=1005, N=1000;
int n,p[maxn];
LL f[maxn][maxn],ans;
bool vis[maxn];
void get_P(){
    memset(vis,1,sizeof(vis));
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(vis[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&(LL)p[j]*i<=N;j++){
            vis[p[j]*i]=false;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
LL Pow(LL a,LL b){
    LL res=1;
    for(int w=a;b;w=w*w,b>>=1) if(b&1) res*=w;
    return res;
}
int main(){
    freopen("bzoj1025.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1025.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    get_P();
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=p[0];i++)
     for(int j=0;j<=n;j++){
        f[i][j]+=f[i-1][j];
        for(LL k=1,t;(t=Pow(p[i],k))<=j;k++) f[i][j]+=f[i-1][j-t];  
     }
    for(int i=0;i<=n;i++) ans+=f[p[0]][i];
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}