[单纯形+对偶] BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募

最新推荐文章于 2018-07-29 23:05:32 发布

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线性规划

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本文介绍了一种通过线性规划解决奥运志愿者调度问题的方法。该问题需要在满足各阶段人员需求的同时，尽可能减少招募成本。文章给出了具体的数学模型转换过程，并提供了一个C++实现示例。

题意

即将启动的奥运新项目要招募一批短期志愿者。
经过估算，这个项目需要n 天才能完成，其中第i 天至少需要bi 个人。
一共有m 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人ci 元。求尽量少的费用招募足够的志愿者。
$n\le 1000, m \le 10000$

题解

这题官方做法是巧妙的建图跑费用流，但是我想不到。直接上单纯形也是可以过的。
把题目表达成线性规划：

M i n : \sum i = 1 m c i * x i

$Min: \quad \sum_{i=1}^m c_i*x_i$

S t . \sum i = 1 m a i j * x i \geq b i, j = 1, 2, . . ., n

$St. \quad \sum_{i=1}^m a_{ij}*x_i \ge b_i \qquad,j=1,2,...,n$
其中

aij $a_{ij}$ 表示第i类人是否

(1/0) $(1/0)$ 在第

j $j$ 天工作。
这里若吧

≥ $\ge$ 变成

≤ $\le$ 后

bi $b_i$ 都是负的，这样找初始可行解代价太大了。
所以我们对偶一下：

M a x : \sum i = 1 n b i * y i

$Max: \quad \sum_{i=1}^n b_i*y_i$

S t . \sum i = 1 n a i j * y i \leq c i, j = 1, 2, . . ., m

$St. \quad \sum_{i=1}^n a_{ij}*y_i \le c_i \qquad,j=1,2,...,m$
这样

(0,0,...,0) $(0,0,...,0)$ 就是初始解, 处理起来简单多了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-8;
double a[10005][1005];
int n,m,id[20005];

void Pivot(int l,int e){
    swap(id[n+l],id[e]);
    double t=a[l][e]; a[l][e]=1;
    for(int i=0;i<=n;i++) a[l][i]/=t;
    for(int i=0;i<=m;i++) if(i!=l&&fabs(a[i][e])>eps){
        t=a[i][e]; a[i][e]=0;
        for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]-=t*a[l][j];
    }
}
bool Simplex(){
    while(1){
        int l=0,e=0; double _min=1e+50;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(a[0][i]>eps){ e=i; break; }
        if(!e) break;
        for(int i=1;i<=m;i++)
         if(-a[i][e]<-eps&&a[i][0]/a[i][e]<_min) _min=a[i][0]/a[i][e], l=i;
        if(!l) return false;
        Pivot(l,e); 
    }
    return true;
}
int main(){
    freopen("bzoj1061.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1061.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[0][i]);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y; scanf("%d%d%lf",&x,&y,&a[i][0]);
        for(int j=x;j<=y;j++) a[i][j]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=i;
    Simplex();
    printf("%d\n",(int)(-a[0][0]+0.5));
    return 0;
}