题意
如果一个序列的相邻两项差的绝对值小于等于1,那么我们说这个序列是完美的。
给出一个有序数列A,求有多少种完美序列排序后和数列A相同。
n<=30000
每个数<=10^9,每个数出现次数<=100
题解
首先我们要想到从小到大考虑,不断的把数插入。
这样搞有什么好处呢?当要把i插入时,因为当前序列中所有数都比i小,所以i只能插到相邻两个i-1之间,或者边界有i-1的。
从这个角度,我们就能考虑DP。设f[i][j][0/1][0/1] 表示插入了前i个数字,有j个空位能插(相邻两个i),后面的0/1表示的是两个边界是否有i的特殊情况。
转移的话很简单,就枚举多少个空位要放,然后组合数算一下就行了。
注意组合数要预处理,否则有快速幂算逆元,会T掉。
复杂度O(n∗100∗4∗4)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=30005, MOD=1000000007;
int n,m,a[maxn],num[maxn];
LL f[maxn][105][2][2],ans,C[130][130],fac[130];
LL power(LL x,LL y){
if(!y) return 1;
if(y&1) return power(x,y-1)*x%MOD;
LL t=power(x,y/2); return t*t%MOD;
}
int main(){
fac[0]=1; for(int i=1;i<=120;i++) fac[i]=(fac[i-1]*i)%MOD;
for(int i=0;i<=110;i++)
for(int j=0;j<=i;j++) C[i][j]=fac[i]*power(fac[j]*fac[i-j]%MOD,MOD-2)%MOD;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+1+n);
int i=1;
while(i<=n){
int j=i+1;
while(j<=n&&a[i]==a[j]) j++;
if(a[j]-a[i]>1) return printf("0\n"),0;
num[++m]=j-i; i=j;
}
f[1][num[1]-1][1][1]=1;
for(int i=1;i<=m-1;i++)
for(int j=0;j<=num[i]-1;j++)
for(int t0=0;t0<=1;t0++) for(int t1=0;t1<=1;t1++) if(f[i][j][t0][t1])
for(int k=0;k<=j;k++)
for(int k0=0;k0<=t0;k0++) for(int k1=0;k1<=t1;k1++) if(k0+k1+k&&num[i+1]-(k0+k1+k)>=0){
f[i+1][num[i+1]-(k0+k1+k)][k0][k1]+=(f[i][j][t0][t1]*C[num[i+1]-1][k0+k1+k-1]%MOD)*C[j][k]%MOD;
f[i+1][num[i+1]-(k0+k1+k)][k0][k1]%=MOD;
}
for(int i=0;i<=101;i++)
for(int j=0;j<=1;j++)
for(int k=0;k<=1;k++) ans=(ans+f[m][i][j][k])%MOD;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}