[递推] 51nod 算法马拉松25 B. 完美序列

最新推荐文章于 2024-01-13 16:00:09 发布

Lynstery

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本文介绍了一种通过动态规划解决完美序列计数问题的方法。针对一个有序数列，该算法计算排序后与原数列相同的完美序列数量。采用DP策略，预处理组合数并优化计算流程，最终实现高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

如果一个序列的相邻两项差的绝对值小于等于1，那么我们说这个序列是完美的。
给出一个有序数列A，求有多少种完美序列排序后和数列A相同。
n<=30000
每个数<=10^9，每个数出现次数<=100

题解

首先我们要想到从小到大考虑，不断的把数插入。
这样搞有什么好处呢？当要把i插入时，因为当前序列中所有数都比i小，所以i只能插到相邻两个i-1之间，或者边界有i-1的。
从这个角度，我们就能考虑DP。设 $f[i][j][0/1][0/1]$ 表示插入了前i个数字，有j个空位能插（相邻两个i），后面的0/1表示的是两个边界是否有i的特殊情况。
转移的话很简单，就枚举多少个空位要放，然后组合数算一下就行了。
注意组合数要预处理，否则有快速幂算逆元，会T掉。
复杂度 $O(n*100*4*4)$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=30005, MOD=1000000007;
int n,m,a[maxn],num[maxn];
LL f[maxn][105][2][2],ans,C[130][130],fac[130];
LL power(LL x,LL y){
    if(!y) return 1;
    if(y&1) return power(x,y-1)*x%MOD;
    LL t=power(x,y/2); return t*t%MOD;
}
int main(){
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=120;i++) fac[i]=(fac[i-1]*i)%MOD;
    for(int i=0;i<=110;i++)
     for(int j=0;j<=i;j++) C[i][j]=fac[i]*power(fac[j]*fac[i-j]%MOD,MOD-2)%MOD;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    sort(a+1,a+1+n);
    int i=1;
    while(i<=n){
        int j=i+1;
        while(j<=n&&a[i]==a[j]) j++;
        if(a[j]-a[i]>1) return printf("0\n"),0;
        num[++m]=j-i; i=j;
    }
    f[1][num[1]-1][1][1]=1;
    for(int i=1;i<=m-1;i++)
     for(int j=0;j<=num[i]-1;j++)
      for(int t0=0;t0<=1;t0++) for(int t1=0;t1<=1;t1++) if(f[i][j][t0][t1])
       for(int k=0;k<=j;k++)
         for(int k0=0;k0<=t0;k0++) for(int k1=0;k1<=t1;k1++) if(k0+k1+k&&num[i+1]-(k0+k1+k)>=0){    
            f[i+1][num[i+1]-(k0+k1+k)][k0][k1]+=(f[i][j][t0][t1]*C[num[i+1]-1][k0+k1+k-1]%MOD)*C[j][k]%MOD;
            f[i+1][num[i+1]-(k0+k1+k)][k0][k1]%=MOD;
        }
    for(int i=0;i<=101;i++)
     for(int j=0;j<=1;j++) 
      for(int k=0;k<=1;k++) ans=(ans+f[m][i][j][k])%MOD;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}