[递推] BZOJ1019: [SHOI2008]汉诺塔

题意

题解

显然由于有优先级存在，操作序列是唯一的。
我们设$g[i][x]$表示一开始有i个盘在x柱，经过一系列操作，他们都到了哪个柱子上。这是唯一确定的。我们再设这个过程的操作方案数为$f[i][x]$。
这样$f[n][0]$ 就是答案了。(我们用0,1,2表示柱A,B,C)
如何递推呢？联系经典的汉诺塔递推，i是由i-1得来的，我们同样用这样的思路来分析。
假设我们现在已经求出了$f[i-1][0/1/2]$和$g[i-1][0/1/2]$，要得到$f[i][x]$：
若在1~i-1盘下面多加一个i盘，动i盘之前的操作的是不会变的。
因为i盘是最大的，只有$f[i-1][x]$ 次操作做完之后才能有空柱子使i盘能移动。
由于此时1~i-1已经到$g[i-1][x]$柱上了，所以i盘必然被移到$3-x-g[i-1][x]$柱上。
为了方便描述，我们设y=$g[i-1][x]$，z=$3-x-g[i-1][x]$。
现在1~i-1在y上，i在z上。
然后，由于有限制(2)，所以i盘不会动，必然是1~i-1盘进行移动。没有整体移动完之前i盘也不会动，理由和一开始相同。
这里就需要讨论y柱上的1~i-1盘会被移动到哪里。
若$g[i-1][y]=z$：
移完之后1~i都到z上了，得$g[i][x]=z，f[i][x]=f[i-1][x]+1+f[i-1][y]$。
若$g[i-1][y]=x$：
先是1~i-1到了x柱上，然后i盘移动到y上，再由于$g[i-1][x]$为y，所有的都到y柱上了。
得 $g[i][x]=y，f[i][x]=f[i-1][x]+1+f[i-1][y]+1+f[i-1][x]$。
这下状态转移就解决了。
初始化$f[1][0/1/2]=1$，$g[1][0/1/2]$根据给出的优先级即可得到。
还是很妙的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=55;
int n,g[maxn][3];
char s[10][5];
LL f[maxn][3];
int main(){
    freopen("bzoj1019.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1019.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=6;i++) scanf("%s",s[i]);
    for(int i=6;i>=1;i--) g[1][s[i][0]-'A']=s[i][1]-'A';
    f[1][0]=f[1][1]=f[1][2]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
     for(int x=0;x<=2;x++){
        int y=g[i-1][x],z=3-y-x;
        if(g[i-1][y]==z) g[i][x]=z, f[i][x]=f[i-1][x]+f[i-1][y]+1;
                    else g[i][x]=y, f[i][x]=2*f[i-1][x]+f[i-1][y]+2;
     }
    printf("%lld\n",f[n][0]);
    return 0;
}