[DP+容斥] BZOJ1042: [HAOI2008]硬币购物_bzoj 容斥原理-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CHHNZ/article/details/58584753

本文介绍了一种解决特定硬币组合问题的方法，该问题要求在给定四种不同面额硬币的情况下，计算出组成特定金额的方案数。通过预处理背包问题获得基本方案数，并采用容斥原理排除超过限制条件的方案。

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题意

有4种硬币。面值分别为c1, c2, c3, c4。
Q组询问，每次给出4种硬币的使用个数上限limit_i,以及一个数S，求组合出S的总面值的满足限制条件的方案数。
di,S<=100000, Q<=1000

题解

注意到硬币个数对于所有询问是固定的，且个数很少，所以我们肯定需要预处理一些东西。
先不考虑硬币个数的限制，刷一次普通的背包得到f[i]，表示用4种硬币组合出i的总面值的方案数。
显然对于每次询问，ans=f[S]-{不合法的方案数}。
我们怎样求不合法的方案数呢？对于第i种硬币超出限制的方案，可以很容易求得
$f[S-(limit[i]+1)*c[i]]$ ，即取limit[i]+1个，剩下的随便取。
但是我们不能直接简单的把4个值相加，因为有重复部分，可能有两种硬币都超出，或3种、4种。
硬币只有4种，所以直接暴力容斥即可求出他们的并。~~说的我好像做过不暴力的容斥题目一样~~

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=100005;
int n,allv,Q,w[10],a[10];
LL f[maxn],ans;

void In_Ex_clusion(int step,int k,int now){
    if(now<0) return;
    if(step>4){
        if(k&1) ans-=f[now]; else ans+=f[now];
        return;
    }
    In_Ex_clusion(step+1,k,now);
    In_Ex_clusion(step+1,k+1,now-(a[step]+1)*w[step]);
}
int main(){
    freopen("bzoj1042.in","r",stdin);
    freopen("bzoj1042.out","w",stdout);
    for(int i=1;i<=4;i++) scanf("%d",&w[i]); 
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=4;i++)
     for(int j=w[i];j<=100000;j++) f[j]+=f[j-w[i]];   
    scanf("%d",&Q);
    while(Q--){
        for(int i=1;i<=4;i++) scanf("%d",&a[i]);
        int S; scanf("%d",&S);
        ans=0;
        In_Ex_clusion(1,0,S);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}