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通过例 2，我们可以看到，对于定义在 [0,1][0, 1][0,1] 上的函数 M(x)M(x)M(x)，通过奇延拓和偶延拓，可以分别得到其正弦级数和余弦级数展开。在这个例子中，f(x)f(x)f(x) 是一个周期为 4 的函数，其傅里叶级数只含有正弦项，这是因为函数在区间内是奇对称的。当 nnn 为偶数时，bn=0b_n = 0bn​=0；设 M(x)M(x)M(x) 定义在 [0,1][0, 1][0,1] 上。将 f(x)f(x)f(x) 展开成傅里叶级数，并作出级数的和函数的图形。

通过上述例题，可以看出傅里叶级数是一种将周期函数展开为三角函数级数的方法。在例题的具体解法中，通过计算傅里叶系数 ana_nan​ 和 bnb_nbn​，再将其代入傅里叶级数展开式，可以得到具体的级数形式。傅里叶级数的图形能够反映出周期函数在不同点的收敛特性，从而为理解复杂波形的组成和分析提供了强有力的工具。一般说来，一个函数的傅里叶级数既含有正弦项，又含有余弦项（见例2）。但是，也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项（见例1）或者只含有常数项和余弦项（见例3）。这是什么原因呢？

设有函数项级数 u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯u_1(x) + u_2(x) + \cdots + u_n(x) + \cdotsu1​(x)+u2​(x)+⋯+un​(x)+⋯ 在区间 III 上收敛于和 s(x)s(x)s(x)。如果对于任意给定的正数 ϵ\epsilonϵ，都存在着一个只依赖于 ϵ\epsilonϵ 的正整数 NNN，使得当 n>Nn > Nn>N 时，对区间 III 上的一切 xxx，都有不等式那么称函数项级数在区间 III 上一致收敛于 s(x)s(x)s(x)。

通过这些例题的详细解析，我们不仅掌握了函数幂级数展开式在近似计算中的应用，还学到了如何估计计算误差，保证结果的精度。这些数学思想和技巧在实际问题的解决中有着广泛的应用，希望大家能通过这些例题的分析更好地理解和掌握幂级数展开的应用。

f(n)(x),…f'(x), f''(x), \ldots, f^{(n)}(x), \ldotsf′(x),f′′(x),…,f(n)(x),…定理：设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某一邻域 U(x0)U(x_0)U(x0​) 内具有各阶导数，则 f(x)f(x)f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内 f(x)f(x)f(x) 的泰勒公式中的余项 Rn(x)R_n(x)Rn​(x) 当 n→∞n \to \inftyn→∞ 时的极限为零，即。

在数学分析中，函数项级数是一个重要的概念。假设我们有一个定义在区间 III 上的函数列那么由这些函数列构成的表达式称为定义在区间 III 上的(函数项)无穷级数，简称(函数项)级数。对于每一个确定的值 x0∈Ix_0 \in Ix0​∈I，函数项级数(3-1)成为常数项级数这个级数(3-2)可能收敛也可能发散。如果级数(3-2)收敛，就称点 x0x_0x0​ 是函数项级数(3-1)的收敛点；如果级数(3-2)发散，就称点 x0x_0x0​ 是函数项级数(3-1)的发散点。

如果级数 ∑an\sum a_n∑an​ 条件收敛，而 ∑∣an∣\sum |a_n|∑∣an​∣ 发散，那么级数 ∑vn\sum v_n∑vn​ 和 ∑wn\sum w_n∑wn​ 都发散。反之，若级数 ∑bn\sum b_n∑bn​ 发散，则级数 ∑an\sum a_n∑an​ 发散。定理 8 说明，对于一般的级数 ∑an\sum a_n∑an​，如果我们用正项级数的审敛法判定级数 ∑∣an∣\sum |a_n|∑∣an​∣ 收敛，那么此级数 ∑an\sum a_n∑an​ 收敛。它的各项为任意实数。

柯西审敛原理为判定级数收敛提供了一个重要的工具，通过验证部分和之间的差值是否可以任意小，我们可以确定级数的收敛性。例子中的应用展示了如何利用这个原理来具体判定一个级数的收敛性。

斯托克斯 (Stokes) 公式是格林公式的推广。格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来。

其中 Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面， ∇u⋅n\nabla u \cdot \mathbf{n}∇u⋅n 是函数 u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z) 沿 Σ 的外法线方向的方向导数，∇2\nabla^2∇2 称为拉普拉斯 (Laplace) 算子。设G是空间二维单连通区域，若 P(x,y,z)P(x,y,z)P(x,y,z)、Q(x,y,z)Q(x,y,z)Q(x,y,z) 与 R(x,y,z)R(x,y,z)R(x,y,z) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲面积分。

设 Σ\SigmaΣ 为光滑的有向曲面，函数 R(x,y,z)R(x, y, z)R(x,y,z) 在 Σ\SigmaΣ 上有界。

如果当各小块曲面的直径的最大值 λ→0\lambda \to 0λ→0 时，这和的极限总存在，且与曲面 Σ\SigmaΣ 的分法及点 (xi,yi,zi)(x_i, y_i, z_i)(xi​,yi​,zi​) 的取法无关，那么称此极限为函数 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 在曲面 Σ\SigmaΣ 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作：即其中 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 叫做被积函数，Σ\SigmaΣ 叫做积分曲面。

在一元函数积分学中，牛顿-莱布尼茨公式表示：f′(x)f'(x)f′(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 上的积分可以通过它的原函数 F(x)F(x)F(x) 在这个区间端点上的值来表达。下面要介绍的格林 (Green) 公式告诉我们，在平面闭区域 DDD 上的二重积分可以通过沿闭区域 DDD 的边界曲线 LLL 上的曲线积分来表达。

设 Δxi=xi−xi−1\Delta x_i = x_i - x_{i-1}Δxi​=xi​−xi−1​， Δyi=yi−yi−1\Delta y_i = y_i - y_{i-1}Δyi​=yi​−yi−1​，点 (ξi,ηi)(\xi_i, \eta_i)(ξi​,ηi​) 为 Mi−1MiM_{i-1}M_iMi−1​Mi​ 上任意取定的点，作乘积并作和。

设 LLL 为 xyxyxy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在 LLL 上有界。在 LLL 上任意插入一点列 M1,M2,…,MnM_1, M_2, \ldots, M_nM1​,M2​,…,Mn​ 把 LLL 分成 nnn 个小段。

设$f(x,y)$是矩形闭区域$R=[a,b] \times [c,d]$上的连续函数。在$[a,b]$上任意取定$x$的一个值，于是$f(x,y)$是变量$y$在$[c,d]$上的一个一元连续函数，从而积分存在，这个积分的值依赖于取定的$x$值。当$x$的值改变时，一般说来这个积分的值也跟着改变。这个积分确定一个定义在$[a,b]$上的$x$的函数，把它记作$\varphi(x)$，即这里变量$x$在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量。

定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分。定义设 f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z) 是空间有界闭区域 Ω\OmegaΩ 上的有界函数。将 Ω\OmegaΩ 任意分成 nnn 个小闭区域 ΔV1,ΔV2,…,ΔVn\Delta V_1, \Delta V_2, \ldots, \Delta V_nΔV1​,ΔV2​,…,ΔVn​，其中 ΔVi\Delta V_iΔVi​ 表示第 iii 个小闭区域，也表示它的体积。

通过将二重积分化为两次单积分，我们可以更方便地计算复杂区域和函数的积分值。上述方法展示了如何利用直角坐标来处理二重积分问题，并且说明了不同类型区域的处理方法。通过上述例题的讲解，我们可以看到，化二重积分为二次积分的方法在实际应用中是非常有效的。选择合适的积分次序以及将积分区域进行合理的划分，可以大大简化计算过程，准确地求出二重积分的值。按二重积分的定义：假定从极点 OOO 出发且穿过闭区域 DDD 内部的射线与 DDD 的边界曲线相交不多于两点。

在例1中，按实验数据描出的图形接近于一条直线。在这种情况下，就可认为函数关系是线性函数类型的，从而问题可以化为求解一个二元一次方程组，计算比较方便。还有一些实际问题，经验公式的类型不是线性函数，但可以设法把它化成线性函数的类型来讨论。

在具体设计数字电路的过程中，通常可供使用的器件类型是有限的，这就需要利用逻辑函数的公式和定理，将函数式化成与所用器件逻辑类型相适应的形式，而不一定是最简的与或形式。变换后的逻辑函数式可能既不是由单一的与非运算组成的，也不是由单一的或非运算组成的，而且可能是多级函数式。在使用标准化的数字集成电路组成所需的逻辑电路时，不仅受到所提供的门电路类型的限制，而且由于很难找到具有4个以上输入端的与门和或门，因而当与或逻辑函数式的输入变量数和乘积项数很大时，就无法用一个两级的与或电路实现这个逻辑函数。

以二元函数为例，设 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 的某一邻域内连续且有 (𝑛+1)(n+1) 阶连续偏导数，(𝑥0+ℎ,𝑦0+𝑘)(x0​+h,y0​+k) 为此邻域内任一点，我们的问题就是要把函数 𝑓(𝑥0+ℎ,𝑦0+𝑘)f(x0​+h,y0​+k) 近似地表达为 ℎ=𝑥−𝑥0h=x−x0​，𝑘=𝑦−𝑦0k=y−y0​ 的 𝑛n 次多项式，而由此所产生的误差是当 𝑝=ℎ2+𝑘2→0p=h2+k2​→0 时比 𝑝𝑛+1pn+1 高阶的无穷小。

设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 的定义域为 𝐷D，𝑃0(𝑥0,𝑦0)P0​(x0​,y0​) 为 𝐷D 的内点。若存在 𝑃0P0​ 的某个邻域 𝑈(𝑃0)⊂𝐷U(P0​)⊂D，使得对于该邻域内异于 𝑃0P0​ 的任何点 (𝑥,𝑦)(x,y)，都有则称函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 处有极大值 𝑓(𝑥0,𝑦0)f(x0​,y0​)，点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 称为函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 的极大值点；

这表明函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在一点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 的梯度 ∇𝑓(𝑥0,𝑦0)∇f(x0​,y0​) 的方向就是等值线 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑐f(x,y)=c 在这点的法线方向，而梯度的模 ∣∇𝑓(𝑥0,𝑦0)∣∣∇f(x0​,y0​)∣ 就是沿这个法线方向的方向导数。这个向量称为函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在点 𝑃0(𝑥0,𝑦0)P0​(x0​,y0​) 的梯度，记作 grad𝑓(𝑥0,𝑦0)gradf(x0​,y0​) 或 ∇𝑓(𝑥0,𝑦0)∇f(x0​,y0​)，即。

一元向量值函数是一元函数的一个扩展，其中自变量取实数值，但因变量取值为向量。考虑空间曲线的参数方程可以表达为向量方程：这里 𝑟r 是从坐标系原点到点 𝑀M 的向量，随时间 𝑡t 改变而改变，描述了空间中的一条曲线，称为曲线 ΓΓ 的向量方程。设数集 𝐷⊂𝑅D⊂R，映射 𝑓:𝐷→𝑅𝑛f:D→Rn 称为一元向量值函数，记为 𝑟=𝑓(𝑡)r=f(t)，其中 𝑡t 是自变量，𝑟r 是因变量。向量值函数的导数定义为向量值函数在某点的瞬时变化率。

隐函数的求导公式在多元函数微分学中具有重要意义。通过隐函数存在定理，我们可以确定隐函数的存在性，并利用多元复合函数的求导法则求出隐函数的导数。这对于处理复杂的多元函数问题非常有帮助。

通过这些定理和例子，我们可以看到，复合函数的求导法则在多元函数微分学中是非常重要且实用的。无论是通过全导数还是偏导数，这些法则都帮助我们更好地理解和处理复杂的多元函数。

由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得：上面两式的左端分别叫做二元函数对 𝑥x 和对 𝑦y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 𝑥x 和对 𝑦y 的偏微分。在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题。

在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数的概念。对于多元函数同样需要讨论它的变化率。但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。定义设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 的某一邻域内有定义，当 𝑦y 固定在 𝑦0y0​ 而 𝑥x 在 𝑥0x0​ 处有增量 Δ𝑥Δx 时，相应的函数有增量如果。

设 𝐷D 是 𝑅2R2 的一个非空子集，称映射 𝑓:𝐷→𝑅f:D→R 为定义在 𝐷D 上的二元函数，通常记为： 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦),(𝑥,𝑦)∈𝐷z=f(x,y),(x,y)∈D 或 𝑧=𝑓(𝑃),𝑃∈𝐷z=f(P),P∈D 其中点集 𝐷D 称为该函数的定义域，𝑥x 和 𝑦y 称为自变量，𝑧z 称为因变量。

4−𝑥2−𝑦2=3(𝑥2+𝑦2)4−x2−y2​=3(x2+y2)​ 平方后解得： 4−𝑥2−𝑦2=3(𝑥2+𝑦2)4−x2−y2=3(x2+y2) 4=4(𝑥2+𝑦2)4=4(x2+y2) 𝑥2+𝑦2=1x2+y2=1 这是一个母线平行于 𝑧z 轴的圆柱面。考虑两个球面： 𝑥2+𝑦2+𝑧2=1(6-6)x2+y2+z2=1(6-6) 𝑥2+(𝑦−1)2+(𝑧−1)2=1(6-7)x2+(y−1)2+(z−1)2=1(6-7) 求交线 𝐶C 在 𝑥𝑂𝑦xOy 面上的投影。

设有曲线 𝐶C 在 𝑦𝑂𝑧yOz 平面上，方程为 𝑓(𝑦,𝑧)=0f(y,z)=0。若将 𝐶C 绕 𝑧z 轴旋转，可生成一个旋转曲面。设 𝑀1(0,𝑦1,𝑧)M1​(0,y1​,z) 为曲线 𝐶C 上的一点，满足 𝑓(𝑦1,𝑧)=0f(y1​,z)=0。当 𝑀1M1​ 绕 𝑧z 轴旋转时，𝑧z 坐标保持不变，点 𝑀1M1​ 的新位置 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)M(x,y,z) 满足 𝑦2+𝑥2=𝑦12y2+x2=y12​。

空间中的直线可以视为两个平面的交集。考虑两个相交平面Ⅱ₁和Ⅱ₂，它们的方程分别为 𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1𝑧+𝐷1=0A1​x+B1​y+C1​z+D1​=0 和 𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2𝑧+𝐷2=0A2​x+B2​y+C2​z+D2​=0。这两个平面的交线上的任一点必须同时满足这两个平面的方程。因此，直线可以通过方程组来表示，这称为直线的。这种表示方法的优点在于其普遍性——任何两个相交平面都可以通过此方程组确定一条直线。但这也意味着直线的表达不是唯一的，因为存在无限多对相交平面可以定义同一条直线。

一个非零向量如果垂直于一个平面，那么这个向量称为该平面的法线向量。任何在平面上的向量都与该法线向量垂直。由此，通过一个点和一个法线向量，我们可以唯一确定一个平面的位置。

设向量 𝑐c 由两个向量 𝑎a 与 𝑏b 按下列方式定出： ∣𝑐∣=∣𝑎∣∣𝑏∣sin⁡𝜃∣c∣=∣a∣∣b∣sinθ 其中 𝜃θ 为 𝑎a 和 𝑏b 间的夹角；𝑐c 的方向垂直于 𝑎a 与 𝑏b 所决定的平面（即 𝑐c 既垂直于 𝑎a，又垂直于 𝑏b），𝑐c 的指向按右手规则从 𝑎a 转向 𝑏b 来确定（如图8-24所示），向量 𝑐c 叫做向量 𝑎a 与 𝑏b 的向量积，记作： 𝑐=𝑎×𝑏c=a×b按此定义，上面的力矩 𝑀M 等于 𝑂𝑃OP 与 𝐹F 的向量积，即 𝑀=𝑂𝑃×𝐹M=OP×F。

由于点 𝑀M 和向径 𝑂𝑀OM 具有相同的坐标，求点 𝑀M 的坐标即为求 𝑂𝑀OM 的坐标。记号 (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) 既可以表示点 𝑀M，也可以表示向径 𝑂𝑀OM。在几何学中，点和向量是两个不同的概念，不可混淆。当 (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) 表示向量时，可以对其进行运算；而当 (𝑥,𝑦,𝑧)(x,y,z) 表示点时，不能直接对其进行运算。需要根据上下文明确它的含义。

常系数线性微分方程组是指所有微分方程都具有常数系数且为线性的微分方程组。这类方程组的特点在于它们的解法较为直接，并且可以系统化地处理。常系数线性微分方程组的解法虽然步骤明确，但需要准确处理代数运算和求导等过程，才能确保求解的正确性。理解和掌握这些步骤，将有助于解决实际应用中遇到的相关问题。

欧拉方程的一般形式为：其中 𝑃1,𝑃2,…,𝑃𝑘P1​,P2​,…,Pk​ 为常数。\ldots,这里 𝐷D 表示对 𝑡t 的求导运算。将以上关系代入原始的欧拉方程，我们将得到一个 𝑡t 为自变量的常系数线性微分方程。求得这个方程的解后，将 𝑡t 换回 ln⁡𝑥lnx，即可得到原方程的解。

设 𝑦1=𝑥𝑘𝑅(𝑥)𝑒(𝜆+𝑖𝜔)𝑥y1​=xkR(x)e(λ+iω)x 为其中一个项的特解，那么另一个项的特解 𝑦2y2​ 将是 𝑦1y1​ 的共轭，即 𝑦2=𝑥𝑘𝑅(𝑥)𝑒(𝜆−𝑖𝜔)𝑥y2​=xkR(x)e(λ−iω)x。这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，右侧项 𝑓(𝑥)f(x) 属于 𝑒𝜆𝑥[𝑃(𝑥)cos⁡𝜔𝑥+𝑄(𝑥)sin⁡𝜔𝑥]eλx[P(x)cosωx+Q(x)sinωx] 形式（其中 𝜆=1λ=1，𝜔=2ω=2，𝑃(𝑥)=1P(x)=1，𝑄(𝑥)=0Q(x)=0）。

当 𝑛

虽然例1和例2涉及不同的实际问题，但它们的微分方程：可以归纳为相同的形式。当f(x) = 0时，是齐次的线性微分方程，否则为非齐次的。我们将在接下来的讨论中研究这些方程的解及其性质。