9.5 隐函数的求导公式

第五节 隐函数的求导公式

一、一个方程的情形

在第二章第四节中，我们已经介绍了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 求它所确定的隐函数的导数的方法。现在，我们将介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1

设函数 𝐹(𝑥,𝑦)F(x,y) 在点 𝑃(𝑥0,𝑦0)P(x0​,y0​) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 𝐹(𝑥0,𝑦0)=0F(x0​,y0​)=0，𝐹𝑦(𝑥0,𝑦0)≠0Fy​(x0​,y0​)=0，则方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0​,y0​) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x)，它满足条件 𝑦0=𝑓(𝑥0)y0​=f(x0​)，并有： 𝑑𝑦𝑑𝑥=−𝐹𝑥(𝑥,𝑦)𝐹𝑦(𝑥,𝑦)dxdy​=−Fy​(x,y)Fx​(x,y)​ (公式 5-2)

公式 (5-2) 就是隐函数的求导公式。

推导过程

将方程 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0 所确定的函数 𝑦=𝑓(𝑥)y=f(x) 代入 𝐹(𝑥,𝑦)=0F(x,y)=0，得恒等式： 𝐹(𝑥,𝑓(𝑥))=0F(x,f(x))=0

其左端可以看做是 𝑥x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得： 𝐹𝑥+𝐹𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥=0Fx​+