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在无向图 𝐺G 中，若结点 𝑢u 和 𝑣v 之间存在一条路，则称结点 𝑢u 和结点 𝑣v 是连通的。不难证明，结点之间的连通性是结点集 𝑉V 上的等价关系。因此，对结点集 𝑉V 作划分，可将 𝑉V 分为若干非空子集 𝑉1,𝑉2,…,𝑉𝑚V1​,V2​,…,Vm​，其中每个子集内的结点彼此连通。这些子图 𝐺(𝑉1),𝐺(𝑉2),…,𝐺(𝑉𝑚)G(V1​),G(V2​),…,G(Vm​) 称为图 𝐺G 的连通分支，记为 𝑤(𝐺)w(G)。若图 𝐺G 只有一个连通分支，则称 𝐺G 是连通图。

𝑉(𝐺)V(G) 是一个非空的节点集合𝐸(𝐺)E(G) 是边集合𝜑φ 是从边集合 𝐸E 到节点的无序偶（或有序偶）集合上的函数边的映射关系为 𝜑(𝑒1)=(𝑎,𝑏)φ(e1)=(a,b), 𝜑(𝑒2)=(𝑎,𝑐)φ(e2)=(a,c), 𝜑(𝑒3)=(𝑏,𝑑)φ(e3)=(b,d), 𝜑(𝑒4)=(𝑏,𝑐)φ(e4)=(b,c), 𝜑(𝑒5)=(𝑑,𝑐)φ(e5)=(d,c), 𝜑(𝑒6)=(𝑎,𝑑)φ(e6)=(a,d)一个图可以用图形表示，如图7-1.1(a)或(b)。

定义1-4.1在命题公式中，对其分量指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公式的各种真值情况，把它汇列成表，就是命题公式的真值表。

定义1-3.1单个命题变元本身是一个合式公式。如果A是合式公式，那么¬A是合式公式。如果A和B是合式公式，那么 (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), 和 (A ↔ B) 都是合式公式。当且仅当能够有限次地应用 (1), (2), (3) 所得到的包含命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。这个合式公式的定义是以递归形式给出的，其中 (1) 称为基础，(2), (3) 称为归纳，(4) 称为界限。¬(P ∧ Q)¬(P → Q)而则不是合式公式。

设P为一个命题，P的否定是一个新的命题，记作¬P。若P为T，¬P为F；若P为F，¬P为T。联结词“¬”表示命题的否定。否定联结词有时亦可记作“~”。

只有具有确定真值的陈述句才是命题，一切没有判断内容的句子，如感叹句、疑问句、祈使句等，都不能作为命题。如果命题标识符只表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。因为命题变元可以表示任意命题，所以它不能确定真值，故命题变元不是命题。当命题变元P用一个特定命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行指派。在上面的例子中：(1)、(2)、(4)、(9)、(10)是命题。(4)在目前可能无法决定真值，但从事物的本质而言，它本身是有真假可言的，所以我们承认这也是一个命题。(5)、(6)、(7)都不是命题。

任意平面图G最多是5-色的。

同态映射是连接两个代数系统和的桥梁。若存在映射f：A→B，使得对所有a₁, a₂ ∈ A都满足f(a₁★a₂) = f(a₁)*f(a₂)，则称f为从到的同态映射。同态映射保持了原系统中的运算结构在新系统中的“影子”。当同态映射f是双射（即既是单射又是满射）时，f称为同构映射，我们说和是同构的，记作A≌B。同构关系表明两个代数系统在结构上是完全相同的，只是元素的表示和运算符号可能不同。

偏序关系是在集合A上定义的一种二元关系，要求满足自反性、反对称性和传递性三个条件。一旦这些条件得到满足，我们便可以将该关系R称为集合A上的偏序关系，并将其表示为“≤”。序偶则被称为偏序集。在偏序集中，如果元素x和y满足特定的条件，则称y盖住x。利用盖住关系，可以方便地绘制出偏序集的哈斯图，从而直观地理解集合内的序关系。链：偏序集中的一个子集，如果其中每两个元素都有序关联，则称为链。反链：偏序集中的一个子集，如果其中任何两个元素都没有直接的序关系，则称为反链。

在相容关系的框架内，相容类是集合A中所有互相相容的元素子集。例如，从集合A出发，我们可以定义多个相容类，例如{cat, cold}和{teacher, desk}等。定理3-11.2进一步扩展了我们对相容关系的理解，说明了如何从给定集合A的覆盖构造出一个相容关系。这个定理强调了覆盖中的每个子集构造出的关系确实是相容的。

自反性：对于集合A中的任意元素a，都有(a, a) ∈ R。对称性：如果(a, b) ∈ R，则(b, a) ∈ R。传递性：如果(a, b) ∈ R 且 (b, c) ∈ R，则(a, c) ∈ R。如果R是集合A上的等价关系，那么对于A中的任何元素a，由所有与a相等的元素x组成的集合a，称为元素a形成的等价类。等价关系与等价类的讨论深化了我们对集合理论的理解，展示了数学中如何通过定义和定理来揭示结构之间的深层联系。

当我们谈论集合的覆盖时，我们指的是将一个集合A分割成若干个非空子集的过程，这些非空子集称为“分块”。这些分块的全体必须满足一个条件：集合A中的每个元素至少属于一个分块。如果满足这个条件，这些分块的集合就被称为集合A的一个覆盖。与覆盖相似，集合的划分也涉及将集合A分割成若干非空子集。然而，划分有一个更加严格的要求：集合A中的每个元素必须属于且仅属于一个分块。如果一组分块满足这个条件，那么这组分块的集合称为集合A的一个划分。当我们有两个不同的集合A的划分时，它们的交集可以形成所谓的交叉划分。

闭包运算是在给定关系基础上，通过添加若干序偶来形成具有某种特殊性质（如自反性、对称性、传递性）的新关系的过程。这种运算的目的是扩充原有关系，使其满足某些特定的性质，从而得到一个“完善”的关系版本。自反闭包（r(R)）：确保关系在每个元素上都与自己相关联。对称闭包（s(R)）：使得如果一个元素与另一个元素相关联，则反向也成立。传递闭包（t(R)）：确保关系中的元素间的间接关联成为直接关联。

当我们有两个关系R和S，分别存在于集合X到Y和集合Y到Z之间时，我们可以构建一个新的关系，称为复合关系RS，它连接了X和Z的元素。这个复合关系包含所有通过Y中的某些元素相互关联的X和Z中的元素对。例子：如果R是“兄弟”关系，S是“父亲”关系，那么复合关系RS可以解释为“叔伯”关系。这种运算扩展了关系的概念，允许我们从已有的关系中推导出新的关系。逆关系是将原关系中的每个序偶元素顺序互换得到的。如果R是一个从集合X到Y的二元关系，那么R的逆关系R°就是将所有的对换成。

当一个集合X上的二元关系R满足条件：对于每个x属于X，都有x与自身在关系R下成立，即xRx，这样的关系R称为自反的。自反性是一种基本的关系属性，它表达了集合中每个元素自我认同的特性。实例：实数集合上的“≤”关系是自反的，因为任何实数都不大于自己；同样，平面上任意三角形与其自身全等，显示了全等关系的自反性。在集合X上定义的二元关系R，如果满足条件：对于任何x,y属于X，只要xRy成立，则yRx也同样成立，这样的关系R称为对称的。

二元关系定义：任何序偶的集合定义了一个二元关系R。如果序偶属于R，则表示为∈R或xRy。反之，如果不属于R，则记作∉R或¬xRy。例如，实数集中的大于关系">"可以表示为：>{|x,y是实数且x>y}。描述的是二元关系的基本概念，它将任何序偶的集合视为确定了一个二元关系R。这个定义核心在于理解什么是序偶、什么是二元关系，以及如何用序偶集合来表示二元关系。在定义3-5.1 中，一个二元关系R被定义为一个序偶的集合。

序偶，记作(x,y)，是由两个元素按照一定顺序组成的一个集合，其中x为第一元素，y为第二元素。序偶的一个关键特性是其次序的重要性：序偶(x,y)与(y,x)是不同的，除非x=y。这与一般集合中元素的次序无关的性质不同。笛卡尔积，定义为两个集合A和B中所有可能的序偶(x,y)的集合，其中x属于A，y属于B。记作A×B，这个概念可以推广到多个集合的情况，形成多元组的概念。定义内容：两个序偶和被认为是相等的，当且仅当它们的对应元素相等，即x=u且y=v。解释顺序的重要性。

包含排斥原理，又称为加减原理，是一种用于计算多个集合并集大小的方法。简单来说，这个原理说明了为了计算多个集合并集的元素总数，我们可以先加上各个集合的大小，然后减去所有两两集合交集的大小，接着加上所有三个集合交集的大小，以此类推，直到考虑了所有集合的共同交集。

设有两个任意集合A和B，我们可以通过找出集合A和B的所有共同元素，组成一个新的集合S。这个由共同元素构成的集合S，称为A和B的交集，用符号“A∩B”表示。数学表达式为：S=A∩B={x|(x∈A)∧(x∈B)}。在数学中，定义是理解任何概念的起点。定义提供了一个明确的框架，说明了对象的基本性质和它们是如何相互关联的。在集合论中，了解集合的基本定义是至关重要的。一旦掌握了基本定义，下一步就是使用这些定义来证明新的性质或定理。这些证明通常通过逻辑推理进行，可能包括直接证明、反证法、数学归纳法等技巧。

加法阿贝尔群：环中的加法运算满足交换律和结合律，存在加法单位元（通常为0），并且每个元素有加法逆元（负元素）。乘法半群：环中的乘法运算满足结合律，但不要求存在乘法单位元（1），也不要求乘法运算是可交换的。分配律：环中的乘法运算对加法运算是可分配的，即对于环中的任意元素 a,b,c，满足 a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c 和 (b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a。这些性质共同构成了环的定义，并为环的进一步研究提供了基础。在数学文献中，环的定义是广泛接受的，并用作研究更复杂数学结构（如域、向量空间等）的基础。

定义 5-7.1 (集合的积和逆)定义集合的积。定义集合的逆。定义 5-7.2 (陪集)左陪集：对于群中的子群和G中的元素a，左陪集由集合{a}H表示，记为aH。右陪集：类似地，右陪集由集合H{a}表示，记为Ha。陪集是群中子群的“自然”扩展。集合的积 (AB)定义：给定两个集合 A 和 B（这里假设 A,B⊆G），其中 G 是一个群，集合 A 和 B 的积定义为集合 AB，其中包含所有可能的 a∗b 的结果，a∈A 且 b∈B。形式化表示集合的逆 (A⁻¹)

置换群（Sn​）：由集合 S 上所有置换组成的群。置换：集合 S 上的元素重新排列。这个定义涉及置换群，特别是 Sn​，它是一个由集合 S 上所有置换构成的集合，其中 n 是集合 S 的元素数量。这个群采用置换的复合作为其运算。这个定义关注于集合 S 上的置换群的子群。具体来说，它涉及置换群 〈Sn​,∘〉 的任何子群，即任何满足群性质（封闭性、结合律、存在幺元和逆元）的 Sn​ 的子集。这个定义介绍了由置换群 〈G,∘〉 在集合 S 上诱导出的特定二元关系。置换群的概念。

定义：如果群 〈G,∗〉 中的运算 ∗∗ 是可交换的，则该群称为阿贝尔群，或交换群。定义：若群 〈G,∗〉 中存在元素 a，使得 G 中的任意元素都可由 a 的幂表示，则称该群为循环群，a 称为生成元。阿贝尔群：如果一个群 〈G,∗〉 中的运算 ∗∗ 对于所有 a,b∈G 都满足交换律（即 a∗b=b∗a），则该群被称为阿贝尔群或交换群。定义 5-5.1 的目的是为了明确地说明什么构成了一个阿贝尔群，而不是为了提供一个需要证明的数学命题。

代数系统 〈G,∗〉：G 是非空集合，* 是定义在 G 上的二元运算。条件封闭性：运算 * 在 G 上是封闭的。结合性：运算 * 是可结合的。幺元存在：存在元素 e（幺元），使得对任意 x∈G，都有 e∗x=x∗e=x。逆元存在：对每个元素 x∈G，存在逆元 x−1。有限群：若 G 是有限集，则 〈G,∗〉 为有限群，阶数为 |G|。无限群：若 G 是无限集，则 〈G,∗〉 为无限群。置换：集合 S 到自身的双射。等幂元：若 a∗a=a，则 a 为等幂元。子群。

半群的基本定义：一个代数系统 ，其中 S 是非空集合，∗∗ 是在 S 上的二元运算。若 ∗∗ 封闭且可结合，则称 为半群。独异点：如果半群包含幺元（即存在元素 e 使得对所有 x∈S，有 e∗x=x∗e=x），则称为独异点。例子： 和 。代数系统：一个代数系统 〈S,∗〉，其中 S 是非空集合，而 * 是定义在 S 上的二元运算。封闭性：如果运算 * 是封闭的（即对于所有的 x,y∈S，有 x∗y 也在 S 中），则称代数系统 〈S,∗〉 为广群。

二元运算：在集合 A 上定义的操作，涉及两个元素的运算，记作 ∗∗。封闭性：如果对于任意的 x,y∈A，都有 x∗y∈A，则称运算 ∗∗ 在集合 A 上是封闭的。二元运算：在集合 A 上定义的操作，涉及两个元素的运算，记作 ∗∗。可交换性：如果对于任意的 x,y∈A，都有 x∗y=y∗x，则称运算 ∗∗ 在集合 A 上是可交换的。二元运算：在集合 A 上定义的操作，涉及两个元素的运算，记作 ∗∗。结合性。

定义5-1.1：集合A上的n元运算定义为从A^n到B的映射。若B⊆A，则该运算为封闭。定义5-1.2：非空集合A和一系列定义在A上的运算形成代数系统。例：。运算的分类：理解一元、二元和三元运算的区别及例子。封闭运算：明白封闭运算的概念，即运算结果仍属于原始集合。代数系统的定义：掌握代数系统由非空集合及其上的运算组成的概念。运算规律：了解基本的运算规律如封闭性、交换律、结合律。

集合相等的条件：两个集合互为子集。集合幂集的元素数量：有限集合A有n个元素，则其幂集有2^n个元素。两个集合A和B相等的充分必要条件是A是B的子集并且B是A的子集。集合A的每一个元素都属于集合B。用逻辑表达式表示为：∀x(x∈A→x∈B)。集合B至少有一个元素不属于集合A。用逻辑表达式表示为：∃x(x∈B∧x∈/A)。换句话说，如果集合A的所有元素都在集合B中，并且集合B中至少有一个元素不在集合A中，那么集合A是集合B的真子集。空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常记作 Ø 或者 O。表示。