9.4 多元复合函数的求导法则

 

第四节 多元复合函数的求导法则

引言

在本节中，我们将一元函数微分学中的复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。我们将按照多元复合函数的不同复合情形，分三种情况进行讨论。

1. 一元函数与多元函数复合的情形

定理1

如果函数 𝑢=𝜑(𝑡)u=φ(t) 及 𝑣=𝜓(𝑡)v=ψ(t) 都在点 𝑡t 可导，函数 𝑧=𝑓(𝑢,𝑣)z=f(u,v) 在对应点 (𝑢,𝑣)(u,v) 具有连续偏导数，那么复合函数 𝑧=𝑓[𝜑(𝑡),𝜓(𝑡)]z=f[φ(t),ψ(t)] 在点 𝑡t 可导，且有：

证明

用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。例如，设