9.8 多元函数的极值及其求法

夏驰和徐策

于 2024-05-21 17:15:48 发布

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第八节多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值与最小值

在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值与最小值问题。与一元函数相类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值有密切联系，因此我们以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题。

定义设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 的定义域为 𝐷D，𝑃0(𝑥0,𝑦0)P0(x0,y0) 为 𝐷D 的内点。若存在 𝑃0P0 的某个邻域 𝑈(𝑃0)⊂𝐷U(P0)⊂D，使得对于该邻域内异于 𝑃0P0 的任何点 (𝑥,𝑦)(x,y)，都有

则称函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 处有极大值 𝑓(𝑥0,𝑦0)f(x0,y0)，点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 称为函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 的极大值点；若对于该邻域内异于 𝑃0P0 的任何点 (𝑥,𝑦)(x,y)，都有

则称函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 处有极小值 𝑓(𝑥0,𝑦0)f(x0,y0)，点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 称为函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 的极小值点。极大值与极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。

例1

函数 𝑧=3𝑥2+4𝑦2z=3x2+4y2 在点 (0,0)(0,0) 处有极小值。因为对于点 (0,0)(0,0) 的任一邻域内异于 (0,0)(0,0) 的点，函数值都为正，而在点 (0,0)(0,0) 处的函数值为零。从几何上看，这是显然的，因为点 (0,0,0)(0,0,0) 是开口朝上的椭圆抛物面 𝑧=3𝑥2+4𝑦2z=3x2+4y2 的顶点。

例2

函数 𝑧=−𝑥2+𝑦2z=−x2+y2 在点 (0,0)(0,0) 处有极大值。因为在点 (0,0)(0,0) 处函数值为零，而对于点 (0,0)(0,0) 的任一邻域内异于 (0,0)(0,0) 的点，函数值都为负。点 (0,0,0)(0,0,0) 是位于 𝑥𝑦xy 平面下方的锥面 𝑧=−𝑥2+𝑦2z=−x2+y2 的顶点。

例3

函数 𝑧=𝑥𝑦z=xy 在点 (0,0)(0,0) 处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点 (0,0)(0,0) 处的函数值为零，而在点 (0,0)(0,0) 的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

以上关于二元函数的极值概念，可推广到 𝑛n 元函数。设 𝑛n 元函数 𝑢=𝑓(𝑃)u=f(P) 的定义域为 𝐷D，𝑃0P0 为 𝐷D 的内点。若存在 𝑃0P0 的某个邻域 𝑈(𝑃0)⊂𝐷U(P0)⊂D，使得该邻域内异于 𝑃0P0 的任何点 𝑃P，都有

则称函数 𝑓(𝑃)f(P) 在点 𝑃0P0 处有极大值或极小值。

二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。下面两个定理就是关于这问题的结论。

定理1（必要条件）

设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 具有偏导数，且在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 处有极值，则有

证不妨设 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 处有极大值。依照极大值的定义，在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 的某邻域内异于 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 的点 (𝑥,𝑦)(x,y) 都适合不等式 𝑓(𝑥,𝑦)<𝑓(𝑥0,𝑦0).f(x,y)<f(x0,y0).

特殊地，在该邻域内取 𝑦=𝑦0y=y0 而 𝑥≠𝑥0x=x0 的点，也应适合不等式

这表明一元函数 𝑓(𝑥,𝑦0)f(x,y0) 在 𝑥=𝑥0x=x0 处取得极大值，因而必有 𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0)=0.fx(x0,y0)=0.

类似可证

从几何上看，这时如果曲面 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(x0,y0,z0) 处有切平面，则切平面

成为平行于 𝑥𝑦xy 坐标面的平面 𝑧−𝑧0=0.z−z0=0.

类似地推得，如果三元函数 𝑢=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)u=f(x,y,z) 在点 (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(x0,y0,z0) 具有偏导数，那么它在点 (𝑥0,𝑦0,𝑧0)(x0,y0,z0) 具有极值的必要条件为

仿照一元函数，凡是能使 𝑓𝑥(𝑥,𝑦)=0fx(x,y)=0，𝑓𝑦(𝑥,𝑦)=0fy(x,y)=0 同时成立的点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 称为函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 的驻点。从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但函数的驻点不一定是极值点，例如，点 (0,0)(0,0) 是函数 𝑧=𝑥𝑦z=xy 的驻点，但函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）

设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又

则 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 处是否取得极值的条件如下：

这个定理现在不证。利用定理1、定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 的极值的求法叙述如下：

第一步 解方程组

求得一切实数解，即可求得一切驻点。
第二步 对于每一个驻点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0)，求出二阶偏导数的值 𝐴A、𝐵B 和 𝐶C。
第三步 定出的符号，按定理2的结论判定 𝑓(𝑥0,𝑦0)f(x0,y0) 是不是极值、是极大值还是极小值。

例4

求函数的极值。

解

先解方程组

求得驻点为 (1,0)(1,0)、(1,2)(1,2)、(−3,0)(−3,0)、(−3,2)(−3,2)。

再求出二阶偏导数

讨论函数的极值问题时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，那么由定理1可知，极值只可能在驻点处取得。然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些点当然不是驻点，但也可能是极值点。例如在例2中，函数 𝑧=−𝑥2+𝑦2z=−x2+y2 在点 (0,0)(0,0) 处的偏导数不存在，但该函数在点 (0,0)(0,0) 处却具有极大值。因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑。

与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。在第一节中已经指出，如果 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在有界闭区域 𝐷D 上连续，那么 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在 𝐷D 上必定能取得最大值和最小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在 𝐷D 的内部，也可能在 𝐷D 的边界上。我们假定，函数在 𝐷D 上连续，在 𝐷D 内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在 𝐷D 的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在 𝐷D 内的所有驻点处的函数值及在 𝐷D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。但这种做法，由于要求出 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在 𝐷D 的边界上的最大值和最小值，所以往往相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 的最大值（最小值）一定在 𝐷D 的内部取得，而函数在 𝐷D 内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在 𝐷D 上的最大值（最小值）。

例5

某厂要用铁板做成一个体积为 2 立方米的有盖长方体水箱。问当长、宽和高各取怎样的尺寸时，才能使用材料最省？

解

设水箱的长为 𝑥x 米，宽为 𝑦y 米，则其高应为 2𝑥𝑦xy2 米。此水箱所用材料的面积为

即

可见材料面积 𝐴=𝐴(𝑥,𝑦)A=A(x,y) 是 𝑥x 和 𝑦y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这个函数取得最小值的点 (𝑥,𝑦)(x,y)。

令

解这方程组，得 𝑥=23,𝑦=23.x=32,y=32.

根据题意可以知道，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域 𝐷={(𝑥,𝑦)∣𝑥>0,𝑦>0}D={(x,y)∣x>0,y>0} 内取得。又函数在 𝐷D 内只有唯一的驻点 (23,23)(32,32)，因此可断定当 𝑥=23,𝑦=23x=32,y=32 时，𝐴A 取得最小值。就是说，当水箱的长为 2332 米、宽为 2332 米、高为 2(23)2=43(32)22=34 米时，水箱所用的材料最省。

从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。

例6

有一宽为 24 厘米的长方形铁板，把它两边折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽。问怎样折法才能使断面的面积最大？

解

设折起来的边长为 𝑥x 厘米，倾角为 𝛼α（见图 9-11），则梯形断面的下底长为 24−2𝑥24−2x 厘米，上底长为 24−2𝑥+2𝑥cos⁡𝛼24−2x+2xcosα 厘米，高为 𝑥sin⁡𝛼xsinα 厘米，所以断面面积

即

可见断面面积 𝐴=𝐴(𝑥,𝛼)A=A(x,α)，这就是目标函数，下面求使这函数取得最大值的点 (𝑥,𝛼)(x,α)。

令

由于上述方程组可化为

解这方程组，得 𝛼=𝜋3=60∘,𝑥=8.α=3π=60∘,x=8.

根据题意可知断面面积的最大值一定存在，并且在 𝐷={(𝑥,𝛼)∣0<𝑥<12,0<𝛼≤𝜋2}D={(x,α)∣0<x<12,0<α≤2π} 内取得。通过计算得知 𝛼=𝜋2α=2π 时的函数值比 𝛼=60∘,𝑥=8α=60∘,x=8 时的函数值小。又函数在 𝐷D 内只有一个驻点，因此可以断定，当 𝑥=8,𝛼=60∘x=8,α=60∘ 时，就能使断面的面积最大。

二、拉格朗日乘数法求条件极值

在实际应用中，我们经常需要在某些约束条件下求多元函数的极值。例如，在生产中，为了最小化成本或最大化利润，通常要满足一定的约束条件。对于这样的情况，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。

定义设函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在某区域内具有连续的偏导数，而 𝑔(𝑥,𝑦)=0g(x,y)=0 是定义在该区域内的一个约束条件。如果存在常数 𝜆λ 和点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0)，使得

则称点 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 为在约束条件 𝑔(𝑥,𝑦)=0g(x,y)=0 下函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 的一个极值点，𝜆λ 称为拉格朗日乘数。

拉格朗日乘数法步骤

建立拉格朗日函数：构造拉格朗日函数
求导数并设为零：对 𝐿L 分别对 𝑥x、𝑦y 和 𝜆λ 求偏导数，并设偏导数等于零，得到方程组
解方程组：解上面得到的方程组，求出 𝑥x、𝑦y 和 𝜆λ 的值。
确定极值类型：将求得的解代入原函数，确定极值的类型（极大值或极小值）。

例7

求函数在约束条件 𝑥+𝑦−1=0x+y−1=0 下的极值。

解

构造拉格朗日函数
对 𝐿L 分别对 𝑥x、𝑦y 和 𝜆λ 求偏导数，并设偏导数等于零，得到方程组
解方程组

由此得出

代入约束条件

因此，函数 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2f(x,y)=x2+y2 在约束条件 𝑥+𝑦−1=0x+y−1=0 下的极小值为 1221，取值点为 (12,12)(21,21)。

例8

某工厂生产两种产品，设生产这两种产品的利润分别为 𝑃1=5𝑥P1=5x 和 𝑃2=10𝑦P2=10y，其中 𝑥x 和 𝑦y 分别是两种产品的生产量。生产这两种产品的资源限制条件为 𝑥+2𝑦≤20x+2y≤20 和 3𝑥+𝑦≤303x+y≤30。问如何安排生产，才能使总利润最大？

解

首先，将约束条件写成等式的形式

构造拉格朗日函数

对 𝐿L 分别对 𝑥x、𝑦y、𝜆1λ1 和 𝜆2λ2 求偏导数，并设偏导数等于零，得到方程组

解方程组，得到

先解两个线性方程组，得到 𝑦=10,y=10, 𝑥=10.x=10.

将 𝑥=10x=10，𝑦=10y=10 代入偏导数的方程组

解得 𝜆1=−5,λ1=−5, 𝜆2=0.λ2=0.

因此，安排生产 𝑥=10x=10 个第一种产品，𝑦=10y=10 个第二种产品，可以使总利润最大。总利润为 𝑃=5𝑥+10𝑦=5⋅10+10⋅10=50+100=150.P=5x+10y=5⋅10+10⋅10=50+100=150.

例9

求函数 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥2+𝑦2+𝑧2f(x,y,z)=x2+y2+z2 在约束条件 𝑥+𝑦+𝑧=1x+y+z=1 下的极值。

解

构造拉格朗日函数

对 𝐿L 分别对 𝑥x、𝑦y、𝑧z 和 𝜆λ 求偏导数，并设偏导数等于零，得到方程组

解方程组，得到

由此得出 𝑥=𝑦=𝑧.x=y=z.

代入约束条件

二、条件极值与拉格朗日乘数法

上面所讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为无条件极值。但在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题。例如，求表面积为 𝑎2a2 而体积为最大的长方体的体积问题。设长方体的三棱的长为 𝑥x、𝑦y 与 𝑧z，则体积 𝑉=𝑥𝑦𝑧V=xyz。又因假定表面积为 𝑎2a2，所以自变量 𝑥x、𝑦y 与 𝑧z 还必须满足附加条件 2(像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值。对于有些实际问题，可以把条件极值化为无条件极值，然后利用前面的方法加以解决。例如上述问题，可由条件 2(𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑥𝑧)=𝑎22(xy+yz+xz)=a2，将 𝑧z 表示成再把它代入 𝑉=𝑥𝑦𝑧V=xyz 中，于是问题就化为求的无条件极值。例5也是属于把条件极值化为无条件极值的例子。

但在很多情形下，将条件极值化为无条件极值并不这样简单。另有一种直接寻求条件极值的方法，可以不必先把问题化到无条件极值的问题，这就是下面要介绍的拉格朗日乘数法。

现在先来寻求函数在条件下取得极值的必要条件。

如果函数在 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 取得所求的极值，那么首先有

我们假定在 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 的某一邻域内 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 与 𝜑(𝑥,𝑦)φ(x,y) 均有连续的一阶偏导数，而 𝜑𝑦(𝑥0,𝑦0)≠0φy(x0,y0)=0。由隐函数存在定理可知，方程 𝜑(𝑥,𝑦)=0φ(x,y)=0 确定一个连续且具有连续导数的函数 𝑦=𝜓(𝑥)y=ψ(x)，将其代入 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 中，结果得到一个变量 𝑥x 的函数 𝑧=𝑓[𝑥,𝜓(𝑥)].z=f[x,ψ(x)].

于是函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在 (𝑥0,𝑦0)(x0,y0) 取得所求的极值，也就是相当于函数 𝑧=𝑓[𝑥,𝜓(𝑥)]z=f[x,ψ(x)] 在 𝑥=𝑥0x=x0 取得极值。由一元可导函数取得极值的必要条件知道而由 𝜑(𝑥,𝑦)=0φ(x,y)=0 用隐函数求导公式，有

把上式代入 𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0)+𝑓𝑦(𝑥0,𝑦0)𝜓′(𝑥0)=0fx(x0,y0)+fy(x0,y0)ψ′(x0)=0 式，得

若引进辅助函数则不难看出，上述方程可以表示为

函数 𝐿(𝑥,𝑦)L(x,y) 称为拉格朗日函数，参数 𝜆λ 称为拉格朗日乘子。

由以上讨论，我们得到以下结论。

拉格朗日乘数法

要找函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)z=f(x,y) 在附加条件 𝜑(𝑥,𝑦)=0φ(x,y)=0 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数 BB 其中 𝜆λ 为参数。求其对 𝑥x 与 𝑦y 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 𝜑(𝑥,𝑦)=0φ(x,y)=0 联立起来： ∂𝐿∂𝑥=0,∂x∂L=0, ∂𝐿∂𝑦=0,∂y∂L=0, 𝜑(𝑥,𝑦)=0.φ(x,y)=0.

由这方程组解出 𝑥x、𝑦y 及 𝜆λ，这样得到的 (𝑥,𝑦)(x,y) 就是函数 𝑓(𝑥,𝑦)f(x,y) 在附加条件 𝜑(𝑥,𝑦)=0φ(x,y)=0 下的可能极值点。

这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数 𝑢=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)u=f(x,y,z,t) 在附加条件 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=0,φ(x,y,z,t)=0, 𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=0ψ(x,y,z,t)=0 下的极值，可以先作拉格朗日函数 𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)+𝜆𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)+𝜇𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡),L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+λφ(x,y,z,t)+μψ(x,y,z,t), 其中 𝜆λ、𝜇μ 均为参数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来求解，这样得出的 (𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)(x,y,z,t) 就是函数 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)f(x,y,z,t) 在附加条件下的可能极值点。

至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

例7

求表面积为 𝑎2a2 而体积为最大的长方体的体积。

解

设长方体的三棱长为 𝑥x、𝑦y 与 𝑧z，则问题就是在条件 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)=2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑥𝑧−𝑎2=0φ(x,y,z)=2xy+2yz+2xz−a2=0 下，求函数 𝑉=𝑥𝑦𝑧(𝑥>0,𝑦>0,𝑧>0)V=xyz(x>0,y>0,z>0) 的最大值。

作拉格朗日函数 𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝜆)=𝑥𝑦𝑧+𝜆(2𝑥𝑦+2𝑦𝑧+2𝑥𝑧−𝑎2),L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz−a2), 求其对 𝑥x、𝑦y 与 𝑧z 的偏导数，并使之为零，得到 𝐿𝑥=𝑦𝑧+𝜆(2𝑦+2𝑧)=0,Lx=yz+λ(2y+2z)=0, 𝐿𝑦=𝑥𝑧+𝜆(2𝑥+2𝑧)=0,Ly=xz+λ(2x+2z)=0, 𝐿𝑧=𝑥𝑦+𝜆(2𝑥+2𝑦)=0.Lz=xy+λ(2x+2y)=0. 再与附加条件联立求解。

因为 𝑥x、𝑦y 与 𝑧z 都不等于零，所以由上述方程可得 𝑦𝑧+𝜆(2𝑦+2𝑧)=0⇒𝜆=−𝑦𝑧2(𝑦+𝑧),yz+λ(2y+2z)=0⇒λ=−2(y+z)yz, 𝑥𝑧+𝜆(2𝑥+2𝑧)=0⇒𝜆=−𝑥𝑧2(𝑥+𝑧),xz+λ(2x+2z)=0⇒λ=−2(x+z)xz, 𝑥𝑦+𝜆(2𝑥+2𝑦)=0⇒𝜆=−𝑥𝑦2(𝑥+𝑦).xy+λ(2x+2y)=0⇒λ=−2(x+y)xy.

将这三式联立解得 𝑥=𝑦=𝑧.x=y=z.

将此代入附加条件，得 2𝑥2+2𝑥2+2𝑥2=𝑎2⇒6𝑥2=𝑎2⇒𝑥=𝑎6,2x2+2x2+2x2=a2⇒6x2=a2⇒x=6a, 𝑦=𝑎6,y=6a, 𝑧=𝑎6.z=6a.

这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个极值点处取得。也就是说，表面积为 𝑎2a2 的长方体中，以棱长为 𝑎66a 的正方体的体积为最大，最大体积为 𝑉=(𝑎6)3=𝑎366.V=(6a)3=66a3.

例8

求函数 𝑢=𝑥𝑦𝑧u=xyz 在附加条件 𝑥+𝑦+𝑧=𝑎(𝑥>0,𝑦>0,𝑧>0,𝑎>0)x+y+z=a(x>0,y>0,z>0,a>0) 下的极值。

解

作拉格朗日函数 𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝜆)=𝑥𝑦𝑧+𝜆(𝑥+𝑦+𝑧−𝑎).L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x+y+z−a).

求其对 𝑥x、𝑦y、𝑧z 和 𝜆λ 的偏导数，并使之为零，得到 𝐿𝑥=𝑦𝑧+𝜆=0,Lx=yz+λ=0, 𝐿𝑦=𝑥𝑧+𝜆=0,Ly=xz+λ=0, 𝐿𝑧=𝑥𝑦+𝜆=0,Lz=xy+λ=0, 𝐿𝜆=𝑥+𝑦+𝑧−𝑎=0.Lλ=x+y+z−a=0.

注意到以上三个方程左端的第一项都是三个变量 𝑥x、𝑦y 与 𝑧z 中某两个变量的乘积，将各方程两端同乘相应缺少的那个变量，使各方程左端的第一项都成为 𝑥𝑦𝑧xyz，然后将所得的三个方程左、右两端相加，得 3𝑥𝑦𝑧+𝜆(𝑥+𝑦+𝑧)=0.3xyz+λ(x+y+z)=0.

把附加条件代入上式，得 3𝑥𝑦𝑧+𝜆𝑎=0⇒𝜆=−3𝑥𝑦𝑧𝑎.3xyz+λa=0⇒λ=−a3xyz.

再把这个结果分别代入各偏导数方程中，得

由此得到点 (𝑎3,𝑎3,𝑎3)(3a,3a,3a) 是函数 𝑢=𝑥𝑦𝑧u=xyz 在条件下唯一可能的极值点。由极值的性质可知，该点为极大值点。因此，目标函数 𝑢=𝑥𝑦𝑧u=xyz 在条件下在点 (𝑎3,𝑎3,𝑎3)(3a,3a,3a) 处取得极大值 𝑢=(𝑎3)3=𝑎327.u=(3a)3=27a3.

例9

求某电视机厂在生产成本与销售价格的约束条件下，获得最大利润的最优价格。

解

设某电视机厂生产一台电视机的成本为 𝐶C，每台电视机的销售价格为 𝑝p，销售量为 𝑥x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测，销售量 𝑥x 与销售价格 𝑝p 之间有下面的关系： 𝑥=𝑀𝑒−𝑎𝑝(𝑀>0,𝑎>0),x=Me−ap(M>0,a>0), 其中 𝑀M 为市场最大需求量，𝑎a 是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 𝐶C 有如下测算： 𝐶=𝐶0−𝑘ln⁡𝑥(𝑘>0,𝑥>1),C=C0−klnx(k>0,x>1), 其中 𝐶0C0 是只生产一台电视机时的成本，𝑘k 是规模系数。

根据上述条件，应如何确定电视机的售价 𝑝p，才能使该厂获得最大利润？

设厂家获得的利润为 𝑢u，每台电视机售价为 𝑝p，每台生产成本为 𝐶C，销售量为 𝑥x，则 𝑢=(𝑝−𝐶)𝑥.u=(p−C)x.

于是问题化为求利润函数 𝑢=(𝑝−𝐶)𝑥u=(p−C)x 在附加条件下的极值问题。

作拉格朗日函数 𝐿