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表达式树提供了一种有效的方式来处理和求值复杂的算术表达式。通过构建表达式树，可以将中缀表达式转换为一种可以直观理解和易于计算的树形结构。表达式树的构建和求值算法不仅展示了数据结构在算法设计中的应用，也体现了栈和树这两种基本数据结构的强大功能和灵活性。通过实现这些算法，我们可以深入理解算术表达式的处理过程，以及栈和树在算法中的应用。

哈夫曼树是带权路径长度（WPL）最小的二叉树，也称为最优二叉树。在所有可能的二叉树中，带有特定权值集合的哈夫曼树的WPL是最小的。

森林与二叉树之间的转换是数据结构中的一个重要概念，它展示了如何将森林（多棵树的集合）转换为一棵二叉树，以及如何从一棵二叉树还原出原始的森林。通过这种转换，可以更好地理解树和森林的结构特性，以及它们与二叉树之间的深刻联系，为解决相关的数据结构问题提供了更多的可能性。中序遍历森林时，首先中序遍历森林中第一棵树的子树森林，然后访问该树的根节点，最后中序遍历除去第一棵树之后剩余的树构成的森林。先序遍历森林时，首先访问森林中第一棵树的根节点，然后先序遍历该树的子树森林，接着先序遍历剩余树构成的森林。

线索二叉树的构造极大地优化了二叉树的遍历效率，特别是在频繁进行遍历操作的应用场景中展现了其独特的优势。通过线索化，不仅可以快速访问节点的前驱和后继，还可以方便地实现二叉树的正向和反向遍历，提高了二叉树数据结构的灵活性和实用性。

在实际应用中，选择哪种存储结构取决于二叉树的形态和需要进行的操作。在二叉树的算法实现中，如二叉树的遍历和搜索等，链式存储结构（尤其是二叉链表）因其操作的灵活性和直观性而被广泛采用。这种方法通过将二叉树中的节点按照一定的规律（通常是层序）安排在一个数组中，从而反映出节点之间的逻辑关系。三叉链表在二叉链表的基础上增加了一个指向父节点的指针域，使得在某些情况下（例如，查找节点的双亲）操作更加便捷。，顺序存储结构可能会导致存储空间的浪费，尤其是在表示具有深度k且节点数少的二叉树时，需要的数组长度可能远大于节点数。

在数据结构和算法的研究中，树和二叉树是两种非常重要的数据结构。它们在处理具有层次结构的数据时表现出了无与伦比的效率和灵活性。本节将详细介绍树和二叉树的抽象数据类型（ADT），为进一步的学习和应用打下坚实的基础。

单链表是线性表链式存储结构的一种，每个节点中只包含一个指针域，这个指针域指向下一个节点，形成一系列的元素链。单链表通过头指针唯一确定，头指针指向链表的第一个节点。如果链表为空，则头指针的值为NULL。int data;// 数据域// 指针域，指向下一个节点单链表作为线性表的链式存储结构，通过节点间的指针连接实现元素的逻辑顺序。相比于顺序存储结构，链式存储结构在插入和删除操作时无需移动大量元素，提高了操作效率。头节点的引入进一步简化了链表操作，使得对链表的处理更加统一和方便。

在深入堆排序之前，我们首先需要理解堆的概念。对于任意给定的i（1 ≤ i ≤ n/2），都有ki ≥ k2i 且 ki ≥ k2i+1（构成大根堆）；或者，ki ≤ k2i 且 ki ≤ k2i+1（构成小根堆）。这里，ki表示位于i位置的节点，k2i与k2i+1分别表示其左右子节点。如果以一维数组作为这个序列的存储结构，那么对应的数据结构在逻辑上可以被视为一个完全二叉树，其中所有非终端节点的值都不大于（或不小于）其子节点的值。

数据对象集合D，包含相同特性的数据元素。数据关系空树：没有元素。非空树：包含唯一的根元素，其他元素（如果有）分为多个不相交的子集，每个子集也是一棵树。关键特性根节点无前驱。每个非根元素有且仅有一个前驱。基本操作初始化、销毁、创建、清空树。判断树是否为空。获取树的深度和根节点。节点值的获取和设置。查找节点的父节点、左孩子、右兄弟。插入和删除子树。遍历树。数据对象类似于树，但每个节点最多有两个子节点。数据关系空二叉树：没有元素。

这一节介绍了两个重要的计算机科学应用案例：数据压缩和表达式求值。数据压缩通过哈夫曼树实现了高效的编码策略，而表达式求值通过二叉树的遍历实现了计算过程。这两个案例展示了数据结构在实际问题解决中的重要作用，特别是在大数据和复杂计算领域的应用。哈夫曼树的定义：哈夫曼树是一种最优二叉树，它根据权值（通常是字符出现的频率）构建，使得整棵树的带权路径长度最小。构建过程：明白如何从给定的权值集合构建哈夫曼树是理解的关键，包括初始化森林、选择最小权值节点合并以及迭代构建直到剩下单一树。哈夫曼编码。

重点链队列的定义: 链队列使用链式结构（单链表）来实现队列的功能。与数组实现的队列不同，它没有固定的大小限制。存储结构: 由节点组成，每个节点有一个数据域和一个指针域。使用头指针和尾指针分别指向队列的头部和尾部。基本操作初始化: 创建一个空队列，通常由一个头节点组成，头尾指针均指向它。入队: 在尾部添加元素。出队: 从头部删除元素。取队头元素: 获取但不删除头部元素。难点头尾指针的管理: 与单链表操作略有不同，需要注意在进行入队和出队操作时正确地更新头尾指针。空间管理。

#### 案例6.2: 六度空间理论【案例分析】- **背景介绍**： 六度空间理论提及在任意两人之间最多仅有6个人的连接。尽管这一理论被广泛提及并得到了某种程度的验证，但从科学角度看，它仍然只是一个假说。- **早期验证**： 很多社会学家使用E-mail进行的验证研究。其中，最著名的是2001年由美国哥伦比亚大学的Duncan J. Watts所进行的实验。他们的研究表明，要通过邮件与某人联系，平均需要经过5～7个中间人。- **研究局限性**： 1. 使用E-mail保持社会关系的人群

*图的应用总结**---**重点**:1. **表示与存储**:- 邻接矩阵、邻接表、边数组等是常用的图的存储结构。2. **遍历**:- 深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索(BFS)是两种基本的图遍历算法。3. **最短路径**:- Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法常用于求解加权图的最短路径问题。4. **最小生成树**:- Prim算法和Kruskal算法用于求无向加权图的最小生成树。

--**6.4 图的存储结构**- **核心问题**：由于图的结构复杂性，我们不能仅仅依赖于元素在存储区的物理位置来表示它们之间的关系。- **邻接矩阵**：- **基本思路**：虽然图没有顺序存储结构，但我们可以用二维数组来模拟元素之间的关系。- **适用情境**：当你需要快速判断两个顶点之间是否存在边时。- **链式存储**：- **基本思路**：由于图中任意两点可能都有关系，使用链式存储是很自然的选择。- **种类**：- 邻接表：适合于表示稀疏图。

图是一种数据结构，结合一组基本操作，便构成了抽象数据类型 (ADT)。以下是抽象数据类型图的定义：**ADT Graph:**数据对象:- V 是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。数据关系:- R = (VR)- VR = ( | v, w ∈ V 且 P(v, w) 表示从v到w的弧，谓词 P(v, w) 定义了弧 的意义或信息)基本操作:1. **createGraph(G, V, VR)** - 初始条件：V 是图的顶点集，VR 是图中

---**1. SNS (Social Networking Services) 定义** - 社会性网络服务：帮助建立社会网络的互联网应用服务。 - 社交网站或社交网的另一种说法。 - 不仅限于现代网站，传统信息载体如短消息业务 (SMS) 也属于此类。---**2. 六度空间理论** - **定义**：你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过6个。也就是说，最多通过6个中间人就可以认识任何一个陌生人。 - **起源**：20世纪60年代由美国心理学家斯坦利·米尔格拉姆 (S

## 图的简介：1. **图 vs. 线性表 & 树**:- **线性表**：数据元素间仅有线性关系；每元素有一个直接前驱和后继。- **树**：数据元素间有层次关系；每层的元素与下一层多个元素(孩子)关联，与上一层一个元素(双亲)关联。- **图**：节点间的关系是任意的，任意两节点都可能关联。2. **图的应用**：- 广泛应用于物理、化学、通信、计算机、数学等领域。### 图论：- **定义**：离散数学的一个分支，专研图的性质。

这段文字描述的是图的遍历。图的遍历与树的遍历有些相似，都是从某个点开始，按照一定的规则遍历其他的点，但是图的遍历更加复杂，因为图中存在循环和回路，这意味着可能会多次访问到同一顶点。### 主要内容：1. **图的遍历**- 图的遍历是从图中的某一顶点出发，按照某种方法，对图中的所有顶点进行访问，每个顶点都只访问一次。- 图的遍历是图算法的基础，可以用于解决连通性问题、拓扑排序、寻找关键路径等。2. **复杂性**

栈和递归之间有着紧密的关系，特别是在算法和程序设计中。栈作为一种数据结构，可以有效地支持递归算法的实现。本节我们将详细讨论栈在递归算法中的作用及其在程序设计中的重要性。概述：详细描述：基本步骤：示例代码： 在这段文本中，对递归过程和递归工作栈的概念和运行机制进行了详细阐述。现在我将帮你逐点分析这些内容：函数调用机制： 在程序中，函数可以调用其他函数，而递归则是函数调用自身。在函数调用中，调用函数和被调用函数的信息交换和链接是通过栈来实现的。函数调用和返回的过程：递归函数的层次概念： 在递归函数中，

这段文字中包含了很多栈数据结构的基本概念和操作。### 3.3 栈的表示和操作的实现#### 3.3.1 栈的类型定义1. **数据对象**：- 定义了一个数据对象集合，记作 D = {a1, a2, ..., an}，其中 n ≥ 0。2. **数据关系**：- 数据关系 R 表示集合中元素之间的某种关系。这部分没有给出更详细的信息。3. **基本操作**：- **InitStack(&S)**: 构造一个空栈 S。

定义队列是一种特殊的线性表，它只允许在表的一端（队尾）进行插入操作，在另一端（队头）进行删除操作。这样保证了元素先进先出（First In First Out, FIFO）的特点。特点先进先出 (FIFO)：队列的基本特点是先进先出。最早进入队列的元素会是最早离开队列的元素。队头和队尾：在队列中，新元素从队尾插入，而元素从队头删除。通常标记为“队头 (front)”和“队尾 (rear)”。动态结构：和栈一样，队列是一个动态数据结构，可以动态地增加或删除元素。示意图（图3.2）

这段话主要讲述了树结构和二叉树在计算机科学中的重要性和应用。以下是该段内容的简要概述：1. **定义和重要性**：- 树结构是非线性的数据结构。- 树通过分支关系定义了一个层次结构。- 树结构不仅在计算机科学中重要，在实际生活中（如社会的族谱和组织结构）也有其影子。2. **在计算机领域的应用**：- 树，特别是二叉树，广泛应用于计算机领域。- 操作系统中用树来表示文件的目录结构。- 编译系统中，树用来表示源代码的语法结构。- 在数据库系统中，树是组织信息的主要方式之一。

哈希函数的设计：哈希函数需要将键映射到哈希表中的一个位置，使得每个位置都有均匀的分布，并且不同的键能够映射到不同的位置。开放地址法和链表法。开放地址法会寻找哈希表中下一个空闲位置来存储键值对，而链表法会将冲突的键值对组织成一个链表，存储在同一个桶中。哈希函数的设计需要考虑多种因素，包括键的分布、哈希表的大小和性能等，因此需要具备较强的数学能力和经验。哈希表的性能受到哈希冲突的影响，因此需要合理选择哈希函数和解决冲突的方法，避免出现过多的冲突，降低查询效率。

邻接表由两个部分组成：顶点数组和邻接表链表。顶点数组中每个元素对应一个顶点，在该元素中存储该顶点以及与之相邻接的所有顶点的信息。邻接表链表存储了从该顶点出发可以到达的所有其他顶点。链表中的每个节点包含两部分：一个指向相邻的顶点的指针和一个指向下一个邻接节点的指针。邻接表的特点：对于无向图或有向图，在添加边时需要在两个顶点之间都加上边。因为邻接表表示的是一个节点所能到达的其他节点，而不是边。