*10.5 含参变量的积分

第五节 含参变量的积分

在本节中，我们将讨论含参变量的积分问题，特别是函数在矩形闭区域上的积分及其性质。设$f(x,y)$是矩形闭区域$R=[a,b] \times [c,d]$上的连续函数，我们可以通过固定$x$值来探讨变量$y$的积分及其对$x$的依赖性。

1. 定义与基本性质

设$f(x,y)$是矩形闭区域$R=[a,b] \times [c,d]$上的连续函数。在$[a,b]$上任意取定$x$的一个值，于是$f(x,y)$是变量$y$在$[c,d]$上的一个一元连续函数，从而积分

存在，这个积分的值依赖于取定的$x$值。当$x$的值改变时，一般说来这个积分的值也跟着改变。这个积分确定一个定义在$[a,b]$上的$x$的函数，把它记作$\varphi(x)$，即

这里变量$x$在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量。因此，上式右端是一个含参变量$x$的积分，这积分确定$x$的一个函数$\varphi(x)$。

定理1

如果函数$f(x,y)$在矩形$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，那么由积分 (5-1) 确定的函数$\varphi(x)$在$[a,b]$上也连续。

证明

设$x$和$x+\Delta x$是$[a,b]$上的两点，则

由于$f(x,y)$在闭区域$R$上连续，从而一致连续。因此对于任意取定的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对于$R$内的任意两点$(x_1,y_1)$及$(x_2,y_2)$，只要它们之间的距离小于$\delta$，即

就有

因为点$(x+\Delta x, y)$与$(x, y)$的距离等于$|\Delta x|$，所以当$|\Delta x| < \delta$时，就有$|f(x+\Delta x, y) - f(x, y)| < \epsilon$。

于是由 (5-2) 式有

因此，$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续。

进一步讨论

既然函数$\varphi(x)$在$[a,b]$上连续，那么它在$[a,b]$上的积分存在，这个积分可以写为

右端积分是函数$f(x,y)$先对$y$后对$x$的二次积分。当$f(x,y)$在矩形$R$上连续时，$f(x,y)$在$R$上的二重积分是存在的，这个二重积分化为二次积分来计算时，如果先对$y$后对$x$积分，就是上面的这个二次积分，但二重积分

也可化为先对$x$后对$y$的二次积分

因此，有下面的定理2。

定理2

如果函数$f(x,y)$在矩形$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，那么

这个公式也可以写成

2. 含参变量积分的微分问题

定理3

如果函数$f(x,y)$及其偏导数$f_x(x,y)$都在矩形$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，那么由积分 (5-1) 确定的函数$\varphi(x)$在$[a,b]$上可微分，并且

证明

为了求$\varphi'(x)$，先利用公式 (5-2) 作出增量之比

由拉格朗日中值定理以及$f_x(x,y)$的一致连续性，可得

其中$0 < \theta < 1$，且$\eta$可小于任意给定的正数$\epsilon$，只要$|\Delta x|$小于某个正数$\delta$。因此

这就是说

由 (5-5) 及 (5-6) 有

令$\Delta x \to 0$，取上式的极限，即得公式 (5-4)。

3. 变上限积分

在积分 (5-1) 中积分限$c$与$d$都是常数。但在实际应用中还会遇到对于参变量$x$的不同的值，积分限也不同的情形，即以下的积分

定理4

如果函数$f(x,y)$在矩形$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，函数$\alpha(x)$与$\beta(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$c \leq \alpha(x) \leq d, c \leq \beta(x) \leq d$ (a \leq x \leq b)，那么由积分 (5-7) 确定的函数$\Phi(x)$在$[a,b]$上也连续。

证明

设$x$和$x+\Delta x$是$[a,b]$上的两点，则

因为

 

所以

 

当$\Delta x \to 0$时，上式右端最后一个积分的积分限不变，根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零。又

其中$M$是$|f(x,y)|$在矩形$R$上的最大值。根据$\alpha(x)$与$\beta(x)$在$[a,b]$上连续的假定，由以上两式可见，当$\Delta x \to 0$时，上式右端的前两个积分都趋于零。

于是，当$\Delta x \to 0$时，

所以函数$\Phi(x)$在$[a,b]$上连续。

定理5

如果函数$f(x,y)$及其偏导数$f_x(x,y)$都在矩形$R=[a,b] \times [c,d]$上连续，函数$\alpha(x)$与$\beta(x)$都在区间$[a,b]$上可微，且$c \leq \alpha(x) \leq d, c \leq \beta(x) \leq d$ (a \leq x \leq b)，那么由积分 (5-7) 确定的函数$\Phi(x)$在$[a,b]$上可微，且

证明

由 (5-8) 式有

当$\Delta x \to 0$时，上式右端的第一个积分的积分限不变，根据证明定理3时同样的理由，有

对于 (5-10) 式右端的第二项，应用积分中值定理得

其中$\eta$在$\beta(x)$与$\beta(x+\Delta x)$之间。当$\Delta x \to 0$时，

于是

类似地可证，当$\Delta x \to 0$时，

因此，令$\Delta x \to 0$，取 (5-10) 式的极限便得公式 (5-9)。

公式 (5-9) 称为莱布尼茨公式。

Φ(x) = ∫ [α(x), β(x)] f(x,y) dy 的微分

例1：设 $f(x,y) = \cos(xy)$，求 $\Phi'(x)$

解： 应用莱布尼茨公式，得

首先，我们计算积分

设 $u = xy$，则 $du = x , dy$，故

积分变为

积分 $\int \cos(u) , du = \sin(u)$，因此

于是

根据莱布尼茨公式，

计算 $\frac{\partial}{\partial x} [\cos(xy)] = -y \sin(xy)$，

将第一个积分再变换变量 $u = xy$，

最终得到

例2：求解

解： 因为

所以

积分 $\int_{0}^{1} x^3 , dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4}$，

因此

根据定理2，可以交换积分次序，由此有

例3：计算定积分

解： 考虑含参变量$\alpha$的积分所确定的函数

显然，

根据公式(5-4)得

把被积函数分解为部分分式，得到

于是

上式在 $[0, 1]$ 上对 $\alpha$ 积分，得到

因此

通过这些例子，我们能够理解含参变量积分的计算方法以及应用场景。