tang7mj的博客

在数值求解常微分方程的过程中，我们希望得到一个与真实解足够接近的数值解。一般来说，我们认为一个数值方法的精度与其阶数有关。p阶方法是指一种数值方法，它在每个步骤中的误差与步长$h$的p次方成正比，也就是说，它的全局误差与步长$h^{p+1}$成正比。具体来说，假设我们使用一个p阶方法来求解方程$y'=f(t,y)$，在第$i$个步骤中，我们使用这个方法计算得到数值解$y_{i}$，真实解为$y(t_i)$。那么这个方法在当前步骤中的局部截断误差为$LTE_i = O(h^{p+1})$。

幂法和反幂法是求解矩阵最大特征值及其对应特征向量和最小特征值及其对应特征向量的常用数值方法。

在数值计算中，迭代法是一种重要的求解数值逼近问题的方法。在使用迭代法求解数值逼近问题时，我们通常需要关注迭代的收敛性能，而收敛阶就是评估迭代算法收敛性能的一种指标。收敛阶是一个描述迭代算法收敛速度的概念。它是一个正整数或无穷大，通常用符号 p 表示。收敛阶的含义是：在每次迭代中，误差的大小至少缩小到前一次迭代误差的 p 倍。如果收敛阶 p 越大，则说明迭代算法的收敛速度越快。具体来说，假设我们使用一个迭代算法求解一个方程的近似解 x。在第 k 次迭代后，我们得到的近似解为 x_k，真实解为 x。

一阶方程组与高阶方程的数值解法的重点、难点和易错点如下：对于一阶方程组，掌握欧拉方法、改进欧拉方法、梯形法、龙格-库塔方法等基本方法的原理、实现和应用；对于高阶方程，要掌握将其化为一阶方程组的方法；了解数值解法的收敛性和稳定性，能够使用这些概念评估数值解的可靠性；对于高维的问题，了解矩阵的运算和求解方法，以及其在数值解法中的应用。对于高阶方程，将其化为一阶方程组需要掌握变量代换和向量组合的方法；对于数值解法的收敛性和稳定性，需要对相关理论有较深入的理解，而且该理论较为抽象，难以直观理解。

绝对稳定性是指一个数值计算方法在求解某个微分方程时，对于所有的步长h都能够产生稳定的数值解，即不会因为步长选择不当而出现发散、震荡等不稳定现象。而绝对稳定区域是指一个数值计算方法所能适用的步长h范围，使得该方法能够产生绝对稳定的数值解。对于显式的数值计算方法而言，其绝对稳定区域通常在复平面上位于虚轴左侧，因为在虚轴右侧，计算结果的增长率会超过1，从而导致计算结果发散。而在虚轴左侧，计算结果的增长率会小于1，从而使得计算结果稳定。

龙格-库塔法是一种数值解微分方程的常用方法，其主要优点是精度高、适用范围广、易于实现等。以下是龙格-库塔法的重点、难点和易错点：龙格-库塔法是一种数值解微分方程的迭代方法，其基本思路是利用一系列的中间量来逐步逼近真实解。龙格-库塔法通常需要通过一定的数学推导和计算来确定中间量和逼近公式，因此需要一定的数学功底和计算能力。龙格-库塔法的精度可以通过调整步长来控制，步长的自动选择是龙格-库塔法中的一个重要技术。龙格-库塔法需要在每个时间步长上进行大量的计算，因此计算效率较低，尤其是在高阶方法中。

自适应求积方法的优点在于它可以根据积分函数的不同特点和区间的不同性质来自适应地调整分割点的位置和精度要求，从而使得计算更加高效和精确。同时，自适应求积方法还可以处理复杂的积分函数和积分区间，并且可以在多个积分区间上同时进行计算，从而大大提高了数值积分的效率。如果整个积分区间的积分近似值满足一定的精度要求，则结束计算，否则将每个小区间分别再次分割，重复以上步骤，直到满足精度要求为止。计算所有小区间上的积分近似值之和，得到整个积分区间的积分近似值。

高斯型求积公式的基本形式是 $\int_{-1}^1 f(x)w(x)dx \approx \sum_{i=1}^n A_i f(x_i)$，其中 $w(x)$ 是权函数，$A_i$ 和 $x_i$ 是待定系数和节点。正交多项式是高斯型求积公式的重要理论基础，正交多项式具有相互正交和单位范数的性质，可用于求解待定系数和节点。常见的正交多项式包括勒让德多项式和切比雪夫多项式，不同的正交多项式适用于不同类型的权函数。

龙贝格算法是一种外推算法，通过递推得到更高精度的数值积分结果。龙贝格算法基于变步长梯形法，通过逐步缩小步长来逼近真实值。龙贝格算法中的递推公式是核心，掌握递推公式的推导和使用是理解和应用该算法的关键。龙贝格算法的收敛速度很快，通常在5次左右即可达到较高的精度。龙贝格算法的递推公式较为复杂，需要理解和掌握多个系数的含义和作用。龙贝格算法在计算中需要保留多个中间结果，需要注意数值计算中的舍入误差和精度损失。在使用龙贝格算法时，需要选择合适的步长和精度要求，否则可能会导致计算结果不准确。

下面是关于牛顿-科茨公式的重点、难点和易错点的总结：牛顿-科茨公式是数值积分中的一种常见方法，用于计算定积分近似值。牛顿-科茨公式是基于插值多项式的方法，通过选取若干个等距节点和对应的函数值，构造出一个多项式函数，然后利用该多项式函数来估计定积分值。牛顿-科茨公式有多个版本，包括低阶公式、高阶公式和复合公式，具体使用哪个版本取决于所求定积分的精度要求和计算效率的要求。牛顿-科茨公式的误差通常使用余项来估计，余项的大小与被积函数的光滑性、节点的选取方式、插值多项式的次数等因素有关。

构造数值积分公式的基本方法和有关概念涉及到以下重点和难点和易错点：重点：1.数值积分的基本思想是用一些离散点上的函数值来近似替代积分值。2.常用的数值积分方法包括：牛顿-科茨公式、梯形公式、辛普森公式等。3.数值积分公式的代数精度是指数值积分公式和被积函数在一定的代数精度下能够完全重合。4.数值积分公式的余项表示代数精度未达到完全重合时的误差项。难点：1.数值积分公式的推导涉及到积分理论、泰勒公式等数学知识，需要掌握相关的数学基础知识。

数值微分的重点、难点和易错点如下：数值微分是通过数值方法计算导数或高阶导数的一种方法。常见的数值微分方法有差分法、插值法和曲线拟合法。差分法是通过有限差分近似导数的方法，分为前向、后向和中心差分法。插值法是通过利用已知函数值构造插值多项式来计算导数或高阶导数。曲线拟合法是通过拟合曲线的导数或高阶导数来计算数值微分。数值微分的精度和稳定性受到步长和截断误差的影响，需要进行适当的取舍。差分法需要选择合适的差分格式和步长，过大或过小的步长都会影响精度。

贝塞尔曲线是一类非常重要的参数化曲线，它有很好的性质和广泛的应用。1.了解基本概念和定义：学习贝塞尔曲线前需要了解贝塞尔曲线的基本概念和定义，如何定义一条贝塞尔曲线、控制点的概念以及贝塞尔曲线的几何性质等。5.深入研究和拓展：对于想要深入研究和拓展贝塞尔曲线的人来说，可以了解更高级的贝塞尔曲线、三维贝塞尔曲线以及贝塞尔曲线的应用于图形学等领域。3.了解贝塞尔曲线的性质和应用：了解贝塞尔曲线的性质和应用，如何利用贝塞尔曲线进行插值、拟合和绘制曲线等应用。

哈尔(Haar)条件是指在最小二乘问题中，如果列向量组A的列向量互相正交且归一化，即 $A^T A=I$，那么最小二乘解的求法可以大大简化。此时，最小二乘问题的解可以直接写成：其中，A是 m\times n的矩阵，b 是 m维向量，x是 n维向量，I是 n维单位矩阵。哈尔条件的好处是能够使得最小二乘问题的求解变得简单、直观，同时也能够避免由于矩阵 $A$ 列向量的线性相关性或接近线性相关性所导致的求解困难或误差增大的问题。

统计学和机器学习中，我们经常需要对模型的性能进行评估。其中，偏差（bias）和方差（variance）是常用的两个评估指标。偏差是指模型在拟合数据时的错误。如果模型的偏差很高，说明模型过于简单，不能很好地拟合数据，也就是欠拟合（underfitting）。例如，如果我们使用线性模型去拟合一个非线性的数据集，那么偏差就会很高。最小偏差是指在所有可能的模型中，偏差最小的模型。通常来说，最小偏差是指一个复杂度恰当的模型能够达到的最小偏差，也就是说，我们需要在偏差和方差之间进行权衡，选择一个合适的模型复杂度。

插值基函数的构造：在埃尔米特插值法中，需要构造一组插值基函数，使得这些基函数在数据点处的函数值和导数值满足一定的条件，从而得到一个能够穿过所有数据点的多项式函数。正确构造插值基函数是埃尔米特插值法的关键。多项式函数的计算：在构造出插值基函数之后，需要将其带入到多项式函数中，得到一个能够穿过所有数据点的多项式函数。在计算多项式函数时，需要注意插值基函数的组合方式和系数的计算方法。插值基函数的导数：为了保证多项式函数的可微性，需要在每个数据点处构造一个导数插值基函数，并将其带入到多项式函数中。

分段低次插值是一种将数据点分段用低次多项式连接起来的插值方法，其重点和难点在于如何选择合适的插值函数和区间划分方式，以及如何处理边界条件。具体来说，分段低次插值的重点和难点包括：插值函数的选择：分段低次插值通常使用一次或二次多项式进行插值，因此需要根据实际数据的特点来选择合适的插值函数，避免过拟合或欠拟合现象的出现。区间划分的方式：区间划分是分段低次插值的核心之一，不同的划分方式会对插值结果产生影响，因此需要根据实际数据的特点来选择合适的划分方式。

拉格朗日插值多项式重点：使用拉格朗日插值多项式求解函数在某个特定点的函数值。难点：需要求解大量的系数，计算复杂度为 O(n^2)，容易出现数值稳定性问题。易错点：对于具有大量插值点的问题，使用拉格朗日插值多项式可能导致数值不稳定性和振荡现象。牛顿插值多项式重点：使用牛顿插值多项式求解函数在某个特定点的函数值。难点：需要求解大量的系数，计算复杂度为 O(n^2)，但比拉格朗日插值稳定性更高。易错点：对于非等距插值点的情况，牛顿插值多项式的计算复杂度可能会变得非常高。多项式插值的内维尔方法。

方程组的状态与解的迭代改善涉及到方程组解法的精度和效率。方程组的状态：方程组的状态通常用残量向量来描述，残量向量是指原始方程组的左侧与右侧做差后得到的向量。方程组的状态好坏取决于残量的大小，即残量越小，则方程组的状态越好。解的迭代改善：解的迭代改善通常采用迭代算法来实现，其主要思想是在初始解的基础上，不断更新和改进解的精度。常见的迭代算法包括雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、逐次超松弛迭代法等。这些算法都是通过多次迭代计算，逐步提高数值解的精度。

雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和逐次超松弛迭代法都是解线性方程组的迭代方法，它们的重点和难点以及易错点如下：雅可比迭代法：重点：利用分量分离的思想，每次更新一个未知量。迭代次数取决于迭代精度和初值。难点和易错点：雅可比迭代法的收敛速度较慢。需要保证系数矩阵A是严格对角占优或严格对角占优加强条件。初始猜测值的选择对迭代的结果有很大影响。高斯-赛德尔迭代法：重点：利用分量分离的思想，每次更新一个未知量，同时使用前面已经更新过的未知量。

向量和矩阵的范数是线性代数中的重要概念，其应用广泛，涉及到很多领域，如数值计算、信号处理、统计学等等。定义和性质：向量和矩阵范数的定义和性质是理解和计算范数的关键，要熟练掌握每种范数的定义和常用性质，如正定性、三角不等式等等。计算方法：向量和矩阵范数的计算方法不同，需要根据不同的范数选择合适的计算方法，如 L^p范数可以使用幂函数计算，算子范数需要计算矩阵的最大奇异值等等。

所有的特征值都是正数。矩阵的所有主子矩阵的行列式也都是正数。其中，特征值是矩阵在线性代数中一个非常重要的概念，表示矩阵在某个向量方向上的变换倍数。主子矩阵是指由原矩阵中某些行和列选出来的子矩阵，其中包括原矩阵本身和其所有的子矩阵。对称正定矩阵具有以下重要性质：它的行列式必须是正数。它的逆矩阵也是对称正定矩阵。对称正定矩阵的所有主子矩阵也都是对称正定矩阵。对称正定矩阵的所有特征值都是正数，且有且仅有正数个线性无关的特征向量。

在工程技术问题中，常常需要求解系数矩阵是对称正定矩阵的线性代数方程组。对于这类方程组，若利用矩阵三角分解法求解，就可得到一个有效法平方根法，其设计原理。定理3 若A为对称正定矩阵，则存在唯一分解其中~L是对角元为正的下三角形矩阵(对称正定矩阵的这种分解称为楚列斯基(Cholesky)分解)。证明 由矩阵三角分解基本原理，存在唯一杜利特尔分解A=LU.若以Ak，Lk，Uk，依次表示矩阵A,L,U的k阶顺序主子阵，则。

项之和，每项又是n个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达(几+1）•n！(n-1）次．当几较大时，其计算量是相当惊人的．因此学习与研究高效率、高精度、便于在计算机上实现的新解法很有必要目前，计算机上常用的解线性代数方程组的方法大致可分为“直接法”与“迭代法”两大类•“直接法”是指那些在没有舍人误差影响的条件下经有限步四则运算可求得准确解的方法，而“迭代法”则是一种逐次逼近的方法在这一章里，将介绍几个计算机上常用的有效解法，并在简要介绍向量与矩阵范数的基础上，讨论方程组的状态以及提高结果精度的一些方法•。

的方法，它是求解方程或方程组的一种基本方法，在科学与工程计算中经常使用．迭代法易在计算机上实现，但存在。这种迭代的转化比我想得要夸张，这是直接通过等式来构造了迭代式。等问题本节通过讨论非线性方程求根介绍这一方法．。是否收敛与收敛速度快慢。

反思：学到了什么？告诉我用二分法求根的具体方法步骤。

在数值运算中，每步都可能产生误差，我们不可能(也不必要)步步进行分析．下面仅从误差的某些传播规律和计算机字长有限的特点出发,指出在数值运算中必须注意的几个原则，以提高计算结果的可靠性。

即找出有根区间(或平面区域），使得在一些较小区间(或平面区域)中方程只有一个实根(或一对共轭复根），以便获取各根的较粗糙的近似值．除代数方程有较完整的理论外，一般可通过作图(见例1、例2）、分析函数大s)或曲线y=f(s）的性态、大范围搜素（例如，当f(工)连续时,可从某点〝出发。以h为步长依次取点s;=sotih(i=1,2，•，N)，如遇有f(x-1)f(x)

在数值运算中,参加运算的数若有误差，必然会影响到计算结果的准确性．今以二元西数为例，通过泰勒(Taylor) 展开来分析误差的传播规律，设x*，5分别是5,5，的近似值•在实际计算时，常用y=f(x)作为函数值y=f(11，22）的近似值．利用函数f(51，8）在点(t，*，）处的泰勒展开式，可方便地估计近似值，“的绝对误差与相对误差•例如，当2与，的误差都较小时，y*的绝对误差。对偏导数几乎已经忘完了，现在的首要任务就是解决高数里面各个薄弱的几个模块。

• （52)=1的两倍，但是不能就此断定，，的准确程度比¢差,因为在 100 内差。若x*为准确值x的一个近似值，则称 x-x*为近似值x*的绝对误差，简称误。的绝对误差限,故从。=100 的绝对误差限e*（x)=2是近似值x21=10的绝对误差限。的大小有关，还与准确值本身的大小有关．为此,需要引人相对误差的概念。若近似值，°某位数的半个单位是它的误差限，而且从该位数字到，°最左。例如，51=100‡2 的近仙值&，=100的相对误差的绝对值。=100 V 是电压，的一个近似值，而2 V则是近似值。

不难发现，考察用计算机解决科学计算问题时所经历的几个环节（如图1-1所示），其中每一步都可能产生误差，首先,数学模型是通过对实际问题进行抽象与简化得到的，它与实际问题之间有误差．数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差．同时，数学模型中往往还含有一些由观测得到的参量，如温度、时间、电压等，显然也有误差,这种由观测产生的误差称为观测误差或参量误差．大其次，根据实际问题建立的数学模型，在许多情况下很难得到准确解，这就需要选用适当的数值计算方法求其近似解：由数值计算方法所得到的近似解与。

这个引入就是告诉我们这门课的意义，即是人类计算机构建时有很多缺陷，我们要采取各种方法来使得我们想要的计算在计算机算的的结果与实际值相符，这就要我们分析造成这些错误的原因，并把它解决掉它们。思考：上述三个例子究竟背后造成误差的原因是什么？