tang7mj的博客

这一节通过对矩阵的可逆性、运算性质以及与秩相关的等式与不等式的探讨，拓展了我们对矩阵理论的理解。通过这些不同的角度，我们可以更深入地分析矩阵在不同场景下的表现，为后续的学习打下坚实的基础。

其中 Ak−1A_{k-1}Ak−1​ 为 k−1k-1k−1 阶上三角矩阵。易知 akk≠0a_{kk} \neq 0akk​=0，Ak−1A_{k-1}Ak−1​ 可逆。因此 Ak−1A_k^{-1}Ak−1​ 也是上三角矩阵。设分块矩阵 P=(AB0C)P = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & C \end{pmatrix}P=(A0​BC​)，其中 AAA 和 CCC 分别是 mmm 阶和 nnn 阶可逆矩阵，BBB 为 m×nm \times nm×n 矩阵。

矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的行或列的线性独立性。为了更好地理解矩阵的秩，我们先引入矩阵的子式的概念。矩阵 AAA 的一个 kkk 阶子式是指从矩阵 AAA 中选取 kkk 行和 kkk 列，构成的 k×kk \times kk×k 的子矩阵的行列式。例如，在一个矩阵中，选定第 1, 3 行和第 3, 4 列，它们交叉点上元素组成的 2 阶行列式就是一个 2 阶子式。类似地，选定第 1, 2, 3 行和第 1, 2, 4 列，相应的 3 阶子式就构成了一个 3 阶行列式。

交换矩阵的两行（或两列）。将矩阵的一行（或一列）乘以一个非零的数。将矩阵的一行（或一列）的若干倍加到另一行（或一列）。例如，通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵：经过一系列初等行变换后，矩阵A可化为行阶梯形矩阵。若矩阵A经过有限次初等变换能够变成矩阵B，则称矩阵A与B等价。反身性：矩阵A与自身等价。对称性：若矩阵A与B等价，则B与A也等价。传递性：若矩阵A与B等价，B与C等价，则A与C等价。这些性质说明，矩阵的等价是矩阵之间的一个等价关系。初等变换与初等矩阵在矩阵理论中具有重要的作用。

设 AAA 为 nnn 阶方阵。如果存在一个 nnn 阶方阵 BBB，使得 AB=BA=EAB = BA = EAB=BA=E 则称矩阵 AAA 可逆，并称矩阵 BBB 是 AAA 的逆矩阵。根据定义，式中 AAA 与 BBB 的地位是对等的，即如果 AAA 是可逆的，则 BBB 一定也是可逆的，且 AAA 是 BBB 的逆矩阵。显然，单位矩阵 EEE 一定可逆，且其逆还是它本身。

本节介绍矩阵的线性运算和乘积运算，它们是矩阵的基本运算。正是这些基本运算的引入，才使矩阵在有序表达和描述有关对象这一基本作用的基础上，成为研究有关对象之间相互联系的有力工具，进而成为具有重要理论意义和实际应用价值的核心数学概念。

矩阵是一个由数排列成的矩形数组，它往往用于表示线性方程组的系数和常数项。对于一个包含 nnn 个未知数和 mmm 个方程的线性方程组，如果略去其未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_nx1​,x2​,…,xn​，仅考虑对应的系数和右端项，可以将它们按顺序排成如下矩形数表：这种矩形数表称为矩阵。我们通常用大写字母 A,BA, BA,B 或其他符号来表示矩阵。

这一节涵盖的概念强调了行列式在解决实际问题中的多样性和强大的应用能力。无论是在解析几何中的向量运算，还是在多项式根的判定中，行列式都是一个关键的工具。这些笔记涵盖了线性方程组的解的讨论，多项式的根的性质，以及行列式在解析几何中的应用。通过这些讨论，可以加深对行列式及其应用的理解，以及如何运用行列式解决具体的几何和代数问题。通过学习和理解这些数学思想、方法、思维方式和技巧，我们不仅能解决特定的数学问题，而且能够将这些技能应用到更广泛的领域，如科学研究、工程设计等。

Cramer法则用于解线性方程组，当系数行列式非零时，提供了一种解方程的方法。

在线性代数中，特征值（eigenvalue）是一个重要的概念。一个n阶方阵A的特征值指的是一个标量λ，使得下面的方程成立：A v = λ v注意(=0特征值是可以=0的但是特征向量不能=0)其中，v是一个非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。简单来说，一个矩阵的特征向量是在矩阵作用下仅仅发生了标量倍数变化的非零向量。特别地，当特征向量v为零向量时，该特征值λ仍然成立，但在大多数情况下我们通常不将零向量视为特征向量。

其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$和$a_{22}$分别是2阶矩阵的四个元素。这个行列式可以看成是矩阵的对角线元素之积减去反对角线元素之积。当矩阵为3阶时，它的行列式的定义如下：其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$和$a_{33}$是3阶矩阵的九个元素。

行列式是线性代数中的重要概念之一，其重点、难点和易错点如下：行列式的概念及其性质，包括行列式的计算方法、性质及推论；行列式的应用，例如线性方程组求解、矩阵求逆等。行列式的计算过程，需要注意化简方法、判断行列式是否可逆等问题；行列式的应用中，对于不同问题需要根据实际情况灵活选择合适的行列式性质或方法进行求解。行列式计算过程中的代数计算错误，如错误地提公因子、错误地展开行列式等；对于行列式性质和定理的理解不够深入，例如混淆行列式的值与矩阵的秩，或者混淆行列式的值与矩阵的特征值等；