【数论+搜索】BZOJ3629 [JLOI2014]聪明的燕姿

linkfqy

于 2017-09-10 15:14:11 发布

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分类专栏： BZOJ 暴搜专栏数学小题常见OJ题解专栏我的OI历程文章标签：数论搜索 BZOJ

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本文介绍了一种利用数论知识求解整数约数个数及约数之和的方法，并提供了一段示例代码实现。通过分解质因数的方式，能够高效地计算出任意正整数的所有约数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面在这里

通过数论知识可以得到：

若 $x=\prod_{i=1}^t p_i^{k_i}$ ，则 $x$ 的约数个数为 $\prod_{i=1}^t (1+k_i)$

类似地， $x$ 的约数之和为 $\prod_{i=1}^t \sum_{j=0}^{k_i} p_i^j$

所以暴搜S的每个素因子取几次方就可以了

示例程序：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=44730;
int S,p[maxn],num[maxn];
bool vis[maxn];
void make_prime(){
    int n=44725;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0]]=i;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) break;
        }
    }
    p[0]=0;
}
bool isprime(int x){
    for (int i=1;p[i]*p[i]<=x;i++)
     if (x%p[i]==0) return 0;
    return 1;
}
void dfs(int lst,int n,int S){
    if (S==1) {num[++num[0]]=n;return;}
    if ((S-1)>p[lst]&&isprime(S-1)) num[++num[0]]=n*(S-1);
    for (int i=lst+1;p[i]*p[i]<=S;i++)
     for (int tot=p[i]+1,w=p[i];tot<=S;w*=p[i],tot+=w)
      if (S%tot==0) dfs(i,n*w,S/tot);
}
int main(){
    make_prime();
    while (~scanf("%d",&S)){
        num[0]=0;dfs(0,1,S);
        printf("%d\n",num[0]);
        if (!num[0]) continue;
        sort(num+1,num+num[0]+1);
        for (int i=1;i<num[0];i++) printf("%d ",num[i]);
        printf("%d\n",num[num[0]]);
    }
    return 0;
}