bzoj4031 [HEOI2015]小Z的房间

最新推荐文章于 2021-08-19 19:52:55 发布

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矩阵树定理

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本文介绍了一个关于大房子布局的问题，通过将问题转化为求特定条件下的树状结构数量，使用矩阵树定理进行求解，并提供了详细的代码实现。

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

对于前100%的数据，n,m<=9

Solution

实际上最后要变成一棵树，那么就是矩阵树定理的运用了。不同之处在于这里要取模，而且模数是一个合数
我们知道对于模数是质数的情况可以乘法逆元，不为质数就用类似辗转相除的方法做
注意要去掉一行一列来求行列式

Code

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define rep(i,st,ed) for (int i=st;i<=ed;++i)

typedef long long LL;
const int MOD=1000000000;
const int N=122;
const int L=11;

int id[L][L];
int dx[4]={-1,1,0,0};
int dy[4]={0,0,-1,1};
LL a[N][N];

char rc[L][L];

LL det(int n) {
    rep(i,1,n) rep(j,1,n) a[i][j]=(a[i][j]+MOD)%MOD;
    LL ret=1;
    rep(i,1,n) {
        rep(j,i+1,n) {
            while (a[j][i]!=0) {
                LL tmp=a[i][i]/a[j][i];
                rep(k,i,n) a[i][k]=(a[i][k]-a[j][k]*tmp%MOD+MOD)%MOD;
                std:: swap(a[i],a[j]);
                ret=-ret;
            }
        }
        if (!a[i][i]) return 0;
        ret=ret*a[i][i]%MOD;
    }
    return (ret+MOD)%MOD;
}

int main(void) {
    int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
    int tot=0;
    rep(i,1,n) scanf("%s",rc[i]+1);
    rep(i,1,n) rep(j,1,m) if (rc[i][j]=='.') id[i][j]=++tot;
    rep(i,1,n) rep(j,1,m) {
        if (rc[i][j]!='.') continue;
        rep(k,0,3) {
            int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
            if (x<1||x>n||y<1||y>m||!id[x][y]) continue;
            int now=id[i][j],tar=id[x][y];
            a[now][tar]--; a[now][now]++;
        }
    }
    LL ans=det(tot-1);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}