BZOJ 4031: [HEOI2015]小Z的房间

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#高斯消元-生成树个数

本文介绍使用矩阵树定理解决生成树计数问题的方法，通过高斯消元计算修改后的拉普拉斯矩阵的行列式来得出生成树的数量，并特别针对取模运算进行了讨论。

题目大意：求生成树个数

做法：用matrix-tree定理。对于一个图，求出它的拉普拉斯算子c
c[i][j]=d[i][j]-a[i][j],d为度数矩阵，当i=j时为i的度数，否则为0，a为邻接矩阵。然后求出矩阵c的行列式。我的做法是高斯消元，把c消成一个上三角后求对角线的乘积，但由于这道题要对10^9进行取模，所以消元时不能开double除，而要不断地辗转相除（乘逆元也不行，不是质数）。
Tips:行列式计算时每交换一行乘一个-1，开一个数组记录。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100+10;
const int md=1000000000;
int a[maxn][maxn],d[maxn][maxn],map[maxn][maxn],n,id[maxn][maxn],tot,m;
long long c[maxn][maxn];
int dx[]={-1,1,0,0};
int dy[]={0,0,-1,1};
char ch[12];
void gauss(int n)
{
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      c[i][j]=(c[i][j]+md)%md;
  int f=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    int j=i;
    while(!c[j][i]&&j<=n) j++;
    if(j==n+1) 
    {
      puts("0");
      return;
    }
    if(j!=i)
    {
      for(int k=1;k<=n;k++) swap(c[i][k],c[j][k]);
      f*=-1;
    }
    for(int k=i+1;k<=n;k++)
    {
      while(c[k][i])
      {
        long long t=c[k][i]/c[i][i];
        for(int l=i;l<=n;l++) c[k][l]=(c[k][l]-c[i][l]*t%md+md)%md;
        if(!c[k][i]) break;
        for(int l=i;l<=n;l++) swap(c[k][l],c[i][l]);
        f*=-1;
      }
    }
  }
  long long res=1;
  for(int i=1;i<=n;i++) res=(res*c[i][i])%md;
  if(f<0) res=(md-res)%md;
  printf("%lld\n",res);
}
int main()
{
  //freopen("4031.in","r",stdin);
  //freopen("4031.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    scanf("%s",&ch);
    for(int j=0;j<m;j++)
      if(ch[j]=='.') map[i][j+1]=1;
      else map[i][j+1]=0;
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    for(int j=1;j<=m;j++)
      if(map[i][j]) id[i][j]=++tot;
  }
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
      if(map[i][j])
      {
        for(int k=0;k<4;k++)
        {
          int nx=i+dx[k],ny=j+dy[k],u=id[i][j],v=id[nx][ny];
          if(nx&&nx<=n&&ny&&ny<=m&&map[nx][ny]) 
          {
            a[u][v]=1;d[u][u]++;
          }
        }
      }
  for(int i=1;i<=tot;i++)
    for(int j=1;j<=tot;j++)
      c[i][j]=d[i][j]-a[i][j];
  //cout<<tot<<endl;
  gauss(tot-1);
  return 0;
}