BZOJ 4031 小Z的房间（生成树计数+行列式）

最新推荐文章于 2021-08-19 19:52:55 发布

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本文介绍了一种基于计数生成树算法解决特定图论问题的方法。该问题要求在一个由房间和柱子组成的网格中，计算出使所有房间通过恰好一条路径相连的不同布局数量。文章详细解释了如何将原始问题转化为求解生成树数目，并通过基尔霍夫矩阵来高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含 $n*m$ 个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。
Input

第一行两个数分别表示 $n$ 和 $m$ 。

接下来 $n$ 行，每行 $m$ 个字符，每个字符都会是 $’.’$ 或者 $’*’$ ，其中 $’.’$ 代表房间， $’*’$ 代表柱子。

Output

一行一个整数，表示合法的方案数 $Mod 10^{9}$

Sample Input

3 3

…

.*.

Sample Output

Solution

把所有 $'.'$ 看作一个点，相邻的两个 $'.'$ 之间建边，问题变为求该图的生成树个数，求出基尔霍夫矩阵（度数矩阵减去邻接矩阵）的任一 $n-1$ 阶主子式的行列式即可

注意此题模数不是质数，所以高斯消元时如果处理到第 $i$ 列，要用第 $i$ 行消去第 $j$ 行的第 $i$ 个元素，需要对 $a[i][i]$ 和 $a[j]][i]$ 辗转相除，每次用第 $i$ 行减去第 $j$ 行的 $a[i][i]/a[j][i]$ 倍，然后交换第 $i$ 行和第 $j$ 行（每交换一次行列式的符号会改变），一直到 $a[j][i]=0$ 为止

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 88
#define mod 1000000000
int a[maxn][maxn];
int inc(int x,int y)
{
    return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int dec(int x,int y)
{
    return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int determinant(int n)
{
    int Sign=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int x=a[i][i],y=a[j][i];
            while(y!=0)
            {
                int z=x/y;
                x%=y;
                swap(x,y);
                for(int k=i;k<=n;k++)
                    a[i][k]=dec(a[i][k],(ll)z*a[j][k]%mod);
                for(int k=i;k<=n;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
                Sign*=-1;
            }
        }
    int ans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ll)ans*a[i][i]%mod;
    if(Sign==-1)ans=dec(0,ans);
    return ans;
}
int n,m,id[maxn][maxn];
char s[maxn][maxn];
int dx[]={-1,0,1,0};
int dy[]={0,-1,0,1};
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s[i]+1);
        int res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                if(s[i][j]=='.')
                    id[i][j]=++res;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)
                if(s[i][j]=='.')
                {
                    int num=0;
                    for(int k=0;k<4;k++)
                    {
                        int ii=i+dx[k],jj=j+dy[k];
                        if(ii<1||ii>n||jj<1||jj>m||s[ii][jj]!='.')continue;
                        num++;
                        a[id[i][j]][id[ii][jj]]=mod-1;
                    }
                    a[id[i][j]][id[i][j]]=num;
                }
        printf("%d\n",determinant(res-1));
    }
    return 0;
}