12、拍卖模型中均衡的数值解方法及改进策略

拍卖模型中均衡的数值解方法及改进策略

在拍卖模型中，对于不完全信息博弈下的均衡投标函数进行数值求解是一个重要的研究领域。本文将介绍不同数值方法的特点、性能比较以及潜在的改进方向。

1. 数值方法误差比较

在数值求解中，定点迭代法和多项式逼近法是常用的方法。定点迭代法平均误差较低，但多项式逼近法的最大误差更低。并且随着多项式逼近阶数的增加，各项误差统计指标都会改善，如平均误差、中位数误差和最大误差减小，误差的标准差变窄。然而，定点迭代法并非如此，随着网格点数增加（步长减小），最大误差会增加，平均误差趋于平稳，误差解的方差增大。

2. 现有数值方法的问题与改进

2.1 射击算法

射击算法是研究最多但也最受批评的数值策略。其分析要求比其他策略更严格，Fibich 和 Gavish（2011）证明了反向射击算法在求解非对称拍卖问题时本质上是不稳定的。

为缓解这些问题，可以在每个候选解中加入检查机制：
1. 确保解在任何点都不会发散。
2. 确保逆投标函数在 [v, ¯v] 范围内。
3. 确保函数单调递减（因为是反向射击）。
只有通过这些检查，才考虑收敛标准（逆投标函数与 v 的接近程度）。但这些检查需要更复杂的编程，且目前文献中的方法似乎缺少这些检查。此外，反复反向射击在时间上成本很高。

2.2 定点迭代法（或牛顿法）

Fibich 和 Gavish（2011）提出的定点迭代法很有前景。他们使用了高斯 - 赛德尔方法来加速收敛，即在每次迭代中，已求解的更新值用于计算剩余方程的解。

研究人员可以从以下两个方面改进迭代方