8、拍卖模型中均衡的数值求解策略

拍卖模型中均衡的数值求解策略

1. 采购拍卖模型分析

在采购拍卖场景中，政府机构希望以最低成本完成一项不可分割的任务。该机构会邀请 N 个潜在供应商（企业）进行密封投标，开标后将合同授予出价最低的投标人。

假设投标人（企业）是风险中性的，且没有价格上限。每个投标人 n 从 urn n 中独立抽取成本 $C_n$，其成本分布为 $F_n(c_n)$，所有成本分布具有共同的紧凑支撑 $[c, \overline{c}]$。

投标人 n 出价 $b_n$ 的期望利润 $U_n(b_n)$ 可表示为：
$U_n(b_n) = (b_n - c_n) Pr(win|b_n)$

假设每个潜在买家 n 使用的出价策略 $\beta_n(c_n)$ 是关于其成本 $c_n$ 单调递增的，那么赢得拍卖的概率为：
$Pr(win|b_n) = \prod_{m\neq n} (1 - F_m [\phi_m(b_n)])$

因此，投标人 n 的期望利润函数为：
$U_n(b_n) = (b_n - c_n) \prod_{m\neq n} (1 - F_m[\phi_m(b_n)])$

为了构建贝叶斯 - 纳什均衡出价函数，需要对每个期望利润函数关于其参数求最大值。代表性最大化问题的一阶必要条件为：
$\frac{dU_n(b_n)}{db_n} = \prod_{m\neq n} (1 - F_m [\phi_m(b_n)]) - (b_n - c_n) \sum_{m\neq n} f_m[\phi_m(b_n)]\frac{d\phi_m(b_n)}{db_n} \times \prod_{\e