21、概率分布与初等函数知识详解

概率分布与初等函数知识详解

1. 概率问题

1.1 电阻缺陷概率问题

假设有四个盒子，每个盒子都装有 1000 个电阻。其中，盒子 1 有 100 个次品，盒子 2 有 400 个次品，盒子 3 有 50 个次品，盒子 4 有 80 个次品。
- 随机选取一个电阻为次品的概率 ：由于随机选择盒子，每个盒子被选中的概率(P(B1) = P(B2) = P(B3) = P(B4) = 0.25)。我们可以通过全概率公式来计算随机选取一个电阻为次品的概率。
- 已知电阻为次品，它来自盒子 2 的概率 ：使用贝叶斯公式来计算该概率。

1.2 伯努利试验

伯努利试验是指相同、连续且独立的试验，在每次试验中，一个基本事件(A)发生的概率为(p = P(A))，不发生的概率为(q = 1 – p)。在(n)次连续的伯努利试验中，每个基本事件可以用 0 和 1 的序列来描述。
例如，在抛硬币试验中，正面朝上为事件(A)，概率(p = 0.5)，反面朝上概率(q = 0.5)。如果抛 5 次硬币，就是 5 次伯努利试验。
事件在(n)次试验中有(k)次成功的总概率为：
[P(k\text{ successes in }n\text{ trials}) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k}]
其中(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!})是二项式系数。

下面通过几个例子来进一步理解：
- 例 10.11 ：求在五次独立掷骰子中，数字 3 出现两次的概