12、拍卖模型中均衡的数值解研究

拍卖模型中均衡的数值解研究

1. 数值方法误差分析

在数值求解拍卖模型均衡的过程中，不同方法的误差表现有所不同。定点迭代法平均误差较低，但多项式逼近的最大误差更低。并且，随着多项式逼近阶数的增加，各项误差统计指标都会改善，如平均误差、中位数误差和最大误差减小，误差的标准差变窄。然而，定点迭代法并非如此，随着网格点数增加（步长减小），最大误差会增大，平均误差趋于平稳，误差解的方差增大。

2. 现有数值策略的问题与改进方向

2.1 射击算法

射击算法是研究最多但也最受批评的数值策略。其分析要求比其他数值策略更严格，Fibich 和 Gavish（2011）指出，反向射击算法在求解非对称拍卖问题时本质上是不稳定的。
改进方法：在每个候选解中加入检查机制，确保解在任何点都不会发散，逆投标函数在 [v, ¯v] 范围内，并且是单调递减的。只有通过这些检查，再考虑收敛标准（逆投标函数与 v 的接近程度）。不过，这些检查需要更复杂的编程，目前文献中的方法似乎缺少这一点。而且，即使解决了稳定性问题，反复反向射击在时间上也是昂贵的。

2.2 定点迭代法

Fibich 和 Gavish（2011）建议的定点迭代法（或牛顿法）很有前景。他们似乎使用了高斯 - 赛德尔方法来加速收敛，即在每次迭代中，已求解方程的更新值用于计算其余方程的解。
改进方向：
- 变量选择 ：该方法需要对微分方程组进行变换，而这关键取决于选择哪个变量（玩家的估值）作为自变量。错误的选择可能导致解发散，未来研究应提供关于此选择的指导，例如研究玩家估值分布之间的关系，以确定合适的自变量。