11、拍卖模型中均衡的数值解

拍卖模型中均衡的数值解

1. 近似均衡投标函数的检验

在检验近似均衡投标函数的有效性时，有两个关键要点需要考虑：
- 斜率 ：在 $P_{n,m}$ 和 $\hat{R} {n,m}$ 相交的任何点（即 $\hat{\sigma}_n$ 等于 $\hat{\sigma}_m$ 处），$\hat{R} {n,m}$ 应该是平坦的，其导数为零。如果 $\hat{R} {n,m}$ 在该点很陡峭，这表明近似均衡投标函数不准确，因为一阶条件未得到满足。而且，当投标相同时（对于任何 $v > v$，包括 $\bar{v}$），此规则同样适用。
- 位置 ：$P {n,m}$ 和 $\hat{R} {n,m}$ 的交点位置也必须与理论一致。具体而言，$P {n,m}$ 和 $R_{n,m}$ 在 $P_{n,m}$ 的任意两个峰值之间最多相交一次；当满足递减波性质时，它们必须在任意两个峰值之间相交（不包括 $v = \bar{v}$）。

Hubbard 等人提出的这些“测试”，可用于检查候选解的有效性，无论研究者采用何种近似方法。他们还进行了蒙特卡罗研究，发现较差的近似（如涉及低阶多项式的近似）会导致关于拍卖的各种错误结论，因此使用良好的近似方法至关重要。

2. 拍卖示例

为了更好地理解如何近似均衡逆投标函数，下面给出几个不同的拍卖示例：
- 示例 1：对称拍卖
考虑一个无保留价的第一价格拍卖，有两个竞标者，他们的估值均从标准均匀分布 $[0,