20、概率基础与应用全解析

概率基础与应用全解析

1. 概率基础概念

1.1 概率的定义

概率理论可以基于一组公理从数学上进行发展，从而构建出一个定义明确的演绎理论，这就是公理化方法。我们可以通过物理描述和简单例子来直观地理解概率的基本概念。

假设在相同条件下进行(n)次独立试验，某一特定事件(A)可能发生也可能不发生。设(n(A))是事件(A)发生的试验次数，那么(n(A)/n)称为事件(A)在一系列试验中发生的相对频率。当(n)趋近于无穷大时，相对频率会趋近于某个常数，这个常数就是事件(A)的概率，记为：
[P(A)=\lim_{n \to \infty} \frac{n(A)}{n}]
例如，抛一枚均匀硬币，得到正面的概率是(1/2)，这符合上述概率的定义。

1.2 掷骰子试验示例

以掷单个骰子为例：
- 可能的结果集 ：试验的可能结果属于集合(S = {1, 2, 3, 4, 5, 6})。如果骰子是均匀的，每个基本元素在掷骰子时出现的概率相等，即：
[P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=\frac{1}{6}]
- 特定事件的概率 ：
- 事件(E)：掷出偶数点 ：该事件由集合(E = {2, 4, 6})中的元素组成，其概率为(P(E)=P(2)+P(4)+P(6)=\frac{1}{2})。
- 事件(B)：掷出三点或更多点 ：该事件由集合(B = {3, 4, 5, 6})中的元素组成，其概率为(P(B