9、拍卖模型均衡的数值解方法解析

拍卖模型均衡的数值解方法解析

1. 投影方法概述

投影方法是一种通过有限数量的近似函数来逼近真实但未知函数的通用策略。具体而言，真实解由简单已知函数的有限组合来近似。对于经济学家来说，投影方法可能比其他方法更直观。研究人员需先选择一个基来近似每个逆投标函数的解，所选基应足够丰富灵活，能近似与问题相关的任何函数，这些函数将表示为基函数的线性组合。接着，研究人员要确定近似的灵活性，即决定包含多少个基元素，也就是确定近似的阶数，这将无限维问题转化为有限维问题，只需找到基函数的系数。通常，使用无限阶近似是“正确”的选择，若基选得好，更高阶的近似会更精确。研究人员还需确定一个合适的残差函数，以评估近似解与真实解的接近程度。投影方法的目标是找到一组系数，使残差函数的某个范数尽可能接近零，或使用测试函数求解某个投影。获取这些系数需要求解一组非线性联立方程或解决一个最小化问题。完成后，研究人员可以验证候选解的质量，选择增加近似阶数，若不行则更换基重新开始。

投影方法以连续函数的线性组合形式提供近似解。一些投影方法家族以其近似方法而闻名：
- 谱方法 ：使用的基中每个元素几乎在所有地方都不为零，如三角函数基和正交多项式。Judd（1998）主张使用正交多项式而非三角函数基，因为经济问题的解通常不是周期性的，对非周期函数进行周期性近似需要很多项才能达到精度。在非对称一级价格拍卖问题中，每个逆投标函数可以用截断级数展开近似：
[
\hat{\phi} n(s) = \sum {k=0}^{K} \alpha_{n,k} P_k(s), s \in [v, \bar{s}], n = 1, 2, \ldots, N
]