习题10-23 Hendrie序列 UVa10479

最新推荐文章于 2020-09-08 18:54:02 发布

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分类专栏：算法设计——暴力搜索搜索——深度优先搜索（DFS）算法竞赛入门经典（第二版）数学——代数分析文章标签： DFS 找规律

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u014800748/article/details/45439595

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本文介绍了一种通过观察规律并运用递归方法解决特定序列构造问题的方法。通过对序列特性的深入分析，提出了一种高效的递归算法实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.题目描述：点击打开链接

2.解题思路：本题是一道找规律题，仔细观察后发现有以下特点：

（1）下标为2^k的数正好为k(下标从1开始)。

（2）如果依次以1,2,4,8...的长度来分解串，可以将序列分解为：0 1 02 1003 02110004 1003020211100005......可以发现，第i个串是由第i-2,i-3,...2,1,0个串组成的。且第i-2个串有1个，第i-3个串有2个，第i-4个串有3个......第1个串有i-2个，第0个串有i-1个，最后再加上数字i。也就是是说，串的构造时递归的。因此可以考虑递归求解。

好了，观察出来上述两个特点后，就可以顺利解决本题了。首先利用第一个性质，将所有的坐标初始化，放到pos数组。由于最高可达2^63，因此应该使用unsigned long long类型。同时初始化第i个串的长度为num[i]。

接下来，每次输入一个n，先查找刚刚大于n的位置pos[i]，令len=pos[i]-n，接下来利用第二个特点递归求解，即dfs(len,i)。返回的是len==0时候对应的数字。根据性质2，从第0个串开始考虑(当前考虑的串设为now)，如果len超过了i*num[now](i表示第now个串的个数)，那么len-=i*num[now]，同时now++。这样一直到长度<i*num[now]为止.由于第now个串的构造也是递归的，因此可以递归求解，即dfs(len,now)。不过事先应取模，即len=(len-1)%num[now]。因为我们只考虑len<=num[now]的情况。

3.代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<sstream>
#include<set>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<functional>
using namespace std;

#define maxn 64
typedef unsigned long long ull;
ull pos[maxn], num[maxn];

void init() 
{
	num[0] = num[1] = 1;
	for (int i = 2; i < maxn; i++)
		num[i] = num[i - 1] * 2;//num[i]表示第i个串的长度
	pos[1] = 2;
	for (int i = 2; i < maxn; i++)
		pos[i] = pos[i - 1] * 2;//标记i首次出现时的下标（从1开始）
}

int dfs(ull len, int n) 
{
	if (len == 0) return n;
	int now = 0;
	for (int i = n - 1; i > 0; i--) 
	{
		if (len > i * num[now])
			len -= i * num[now];
		else 
		{
			if (now == 0 || now == 1)  
				return now;
			len = (len - 1) % num[now];//将len修改为一个num[now]内的长度
			return dfs(len, now);//递归求解
		}
		now++;
	}
}

int main() 
{
	//freopen("t.txt", "r", stdin);
	init();
	long long n;
	while (scanf("%lld", &n) == 1 && n) 
	{
		if (n == 1) 
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		for (int i = 1; i <= 64; i++) 
		{
			if (n <= pos[i]) //先找到刚刚超过n的i
			{
				printf("%d\n", dfs(pos[i] - n, i));//利用dfs求解
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}