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1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求找到合适的一组a,b，使得按照递推公式能输出正确的x2,x4...可以枚举a值，通过列写方程得到b的值，但这里有一个问题，这里是一个同余方程，等号的一端带有k*10001，这时就应该迅速的想到利用扩展gcd来解决，已知量为1001，a+1，求出gcd(10001,a+1)以及线性方程的系数x,y即可。当发现计算出的数和原来的输入矛盾时，说明a是非

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求寻找k个正整数，它们的和恰好是N，它们的LCM恰好是M的解的个数。可以设置一个三维的dp来解决。用dp(i,j,k)表示选择i个数，它们的和恰好是j，它们的LCM恰好是k的个数。那么答案就是dp(k,n,m)。不过这里介绍一种利用状态压缩思想求解的方法。通过题意可以发现，N,M的范围都比较小，不超过1000，而1000之内的所有数的不

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用莫队算法解决。由于是第一次学习这个算法，因此研究了比较长的一段时间才弄懂。首先，莫队算法解决的问题是无修改的离线区间查询问题。该算法实际上是由曼哈顿距离最小生成树演变来的，由于要处理m个区间，可以将这m个区间看做二维平面上的点，那么处理这m个区间就等价于让这m点连通，且总的转移代价最小。这其实就是一个曼哈顿距离最小生成树问题。经典的曼

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用扫描与维护解决。根据题意，能够走到所有的格子，一定是挑选出来的牌的步数的最大公约是1，这点很好理解。因为ax+by=1意味着只要有a个x和b个y就可以凑出来步数1。这样以来，只需要利用map来存储所有的公约数对应的最小费用即可。初始时刻base[0]=0,接下来就是从前往后扫描一遍这n个数，然后依次更新base中的每一个最大公约是对应的最小费用即

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求计算C(n,0)...C(n,n)当中有多少个数不能被p整除。可以利用Lucas定理解决。通过Lucas定理，我们知道，如果C(n,m)不能被p整除，那么在n,m的p进制表示法中，每一个ni都满足ni>=mi，这样，每一位只有ni+1个整数可以满足该关系式，通过乘法原理不难得知最终的答案是(n0+1)(n1+1)..(np-1+1)。3.代码

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题是一道模拟+数论的综合题。因此可以数论部分和模拟部分分开进行。首先，除去日历，其实本题就是要求解x^q≡a (mod p)。这需要用到数论中原根的知识，读者可以网上或者初等数论书中找到相应的内容。假设我们现在已经有了p的原根m，那么该如何求解呢？可以用离散对数的方法来做，方程两边同时取m的离散对数，得q*x'≡a'(mod p-1)。这里的x'就是x

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用枚举法+随机数解决。通过分析可以发现，一个a只对应一个b，因此不妨枚举a，在n=1时候求出相应的b，接下来只需要在[1,C)范围内用随机数检测等式是否恒成立即可。通过尝试发现，用随机数测试500次即可。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include#include#include#incl

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求LCM(C(n,0), C(n,1),..., C(n,n))，官方题解是转化为求解LCM(1,2,3,...n+1)/(n+1)，然而这种做法还是觉得太陌生，不妨试着用学过的唯一分解定理去做。首先，求这n+1个数的LCM，实际上就是求所有小于n的素数中，对于每一个素数Pi,哪一项的指数最大，然后把他们连乘起来即可得到LCM值。因此，

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用线性筛+打表解决。设f(n)=gcd(1,n)+gcd(2,n)+...+gcd(n-1,n).那么最终的答案就是S(n)=f(2)+f(3)+...+f(n)。因此，只需要快速计算f(n)，即可递推得到所有答案。注意到gcd(x,n)是n的约数，我们不妨利用约数来分类计数。令g(n,i)表示gcd(x,n)=i且x3.代码：//#pra

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用Lucas+CRT+移位乘法解决。然而。。。比赛时候意识到了可能会爆long long，但是还没学移位乘法，受到了100点伤害==3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include#include#include#include#include#include#include#incl

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用dfs序+容斥原理+前缀和性质解决。题目中要求每个结点，和多少个它的子结点互素。如果每次为了求一个点去跑一遍dfs,复杂度将是O(N(N+M))。一定会超时。因此需要深入加以分析。注意到n的范围是10^5以内的，因此可以事先用线性筛求出每个数含有哪些素因子。接下来，我们尝试利用dfs序来求解。设num[i]表示遍历到当前结点时候，含有因数i（注意

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题需要一点仔细的分析。很容易想到可以从边长的整除性上去考虑，然而这样还不够，可以发现存在一种情况是小矩形既有横着摆放的，也有竖着摆放的。那么我们就按照摆放方式进行分类讨论：（1）全部都是横着放或全部都是竖着放，那么只需要判断c,d是否分别整除a,b或b,a即可；（2）一部分是横着放，一部分是竖着放；这种情况比较复杂，需要仔细的分析。首先一点

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题是一道非常好的思维题。猛一看感觉好像没有什么特别好的方法，但是如果仔细观察这个方程，就会发现要求解的x实际上是一个不动点，只要找到了这个不动点，以后就会稳定的这个地方。所以可以一开始选择一个比10^12大的数，开始不停的迭代，直到是一个稳定点时候break即可。类似于牛顿法求高次方程的根。3.代码：#include#include#inc

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用欧拉定理解决。根据题意，我们需要递归地计算每一个取模后的指数，然后再进行快速幂得到最终的答案。由欧拉定理知，我们只需要计算指数模phi(MOD)的结果即可，但是有一个细节需要注意，如果gcd(a,MOD)>1,那么需要先计算出a^phi(MOD)%MOD的结果r,那么可以知道，r^k%MOD恒等于r,这样，再把结果乘上r,就是最终的答案。本题即可

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题可以事先打表计算出所有的数的正因子之和，然后查询即可。这里的问题是，为什么这么做就是可行的。尝试算出几个因数和之后我们会发现，如果因数和相同，那么直接更新的话自然会取较大者，因此答案是正确的。3.代码：#include#include#include#include#include#include#include#include

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：第一次做这类通过矩阵求解整数部分的题目，学习了。首先是如何求(5+2sqrt(6))^n的整数部分，这里可以参考如下的博客链接：点击打开链接接下来，本题还有另外一个难点就是如何降低指数的次数。由于我们已经把问题变换为了通过矩阵快速幂来求解，而且根据线性递推数列取模后均为周期序列的结论，本题的矩阵也存在周期性，看到网上有的是根据群论的知识直接算

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用差分序列的性质解决，将1,2,..,k+1都带入表达式计算，如果对所有的i，都有D整除P(i)，那么该序列所有值都为整数，否则不都为整数。因为如果某一项不能整除，那么d^kP(i)就不是整数，因此不总是整数。不过本题的一个难点在于如何解析表达式，可以发现，多项式的构成都符合an^k的形式，因此可以对第i项，找到它的系数a[i]和指数p[i]，从而

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求找出1~2^64-1之间所有的超级幂。根据题意，不难知道这样的数的幂次一定是一个合数。而最大的幂次肯定不超过64，因此只需要去除4~64之间所有的素数即可，而这些素数可以事先打表。接下来开始枚举底数和幂次。由于幂次最多只有不超过60个，每个幂次对应的底数不超过10^5个，因此时间复杂度可以承受。但这里还有一个问题：如何知道枚举到哪个幂次就停止

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题能用的判断条件只有两个：（1）gcd(a,b)=c；（2）(a^b)=c；通过观察容易发现如果gcd(a,b)=(a^b)=c，那么c=a-b，因此可以事先枚举所有a的因数c，利用b=a-c计算b,然后只需验证是否满足(a^b)==c即可。但本题的数据太大，而且枚举约数不容易，因此可以利用约数c枚举倍数a，这样就会方便很多，打表的效率也足够高；而且，

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题让计算两个组合数的商，既可以直接利用公式，也可以利用唯一分解定理：事先计算10000以内的所有素数，然后计算组合数分解后各个素数的幂，用数组e保存指数即可。这里计算指数时可以利用数论中求n!分解式中各个素因数指数的公式。3.代码：（利用唯一分解定理）#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#in

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求找至少两个整数，使得它们的最小公倍数是n。本题看似简单，但还是应该注意细节，考虑周密。当n=1时答案是2，当n只有一种素因子时答案是n+1，由于n的最大范围是2^31-1，因此保险起见用long long防止溢出。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#includ

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：由于是模运算，因此整个序列肯定会出现重复序列，事先可以枚举周期T，然后利用pow_mod的算法快速计算a^b(mod T)的结果p，返回F[p]即可。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#include#include#include#include#includ

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题实质上是要求满足1≤x,y≤n，且x,y互素的个数。除了(1,1)外，其余的x,y各不相同。设x3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#include#include#include#include#include#include#include#incl

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：通过试验可以发现，本题等价于求解C(n-1,i)的组合数中有哪些是m的倍数，可以利用唯一分解定理来判断：事先分解m，随后利用递推式计算每一项中包含m的素因数的指数即可。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#include#include#include#includ

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：根据题意可知最大的素数在int范围内，可以先算出1299709以内的所有素数，随后二分查找n附近的素数的位置即可。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#include#include#include#include#include#include#includ

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求找在区间[L,R]中素因子只有一个且自身不是素数的数，这实际上就是找素因子的幂次大于1的数在该区间中有几个。可以利用前缀和的思想，用cal(k)表示不超过k的这样的数有几个，那么最终的答案就是cal(R)-cal(L-1)。而cal()函数可以通过逐一尝试素数计算最大幂次来得到。当p>sqrt(k)时即可停止枚举。注意要用long long输

1.解题思路：点击打开链接2.解题思路：本题要求寻找连续个素数相加为n的个数。由于n的范围不大， 因此可以事先打表。计算好所有的连续和的个数，最后直接输出即可。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#include#include#include#include#include#include#inc

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用暴力搜索解决。因为题目中R-L最大不超过10000，可以直接进行搜索。并用ans,p分别标记目前找到的约数最多的个数以及对应的整数。因此关键问题是如何快速计算一个整数n的正约数的个数。方法是这样的：可以从2开始尝试，如果n包含这个素数，那么就把它“除干净”，这样既可保证后面找到的因子均为素数，只需要枚举到sqrt(n)时即可停止。这样做的好处

1.题目描述：点击打开链接2解题思路：本题利用欧拉函数的性质暴力搜索求解。首先，根据 phi(n)=pk11(p1−1)∗pk22(p2−1)∗pk33(p3−1)....可知，n中的所有素因子p必须满足phi(n)%(p-1)==0这一条件。因此可以事先将所有这样的素数找出来，然后在这些素数的基础上进行暴力搜索，来枚举哪些素数用与不用。如果用了，还要枚举所有的合法的使用次数。这看上去时间

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题通过观察发现，如果两个数a,b的最大公约数是G，那么G≤a且G≤b。因此直接令a=G即可。如何判断是否有解呢，只需要看是否满足gcd(G,L)==G就行了。如果满足，b=L。3.代码：#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include#include#include#include#include#i

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求寻找最小的B，使得lcm(A,B)=C。这里容易想当然地认为B=C/A就是答案。实际上是错误的做法。因为lcm(A,C/A)不一定等于C，如果想让lcm(A,C/A)==C，必须有gcd(A,C/A)==1。通过恒等式a*b==gcd(a,b)*lcm(a,b)即可证明。这就提示我们得到临时的B之后，要想办法将A,B变为互素的两个数。还是利用恒等

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用唯一分解定理及n!的指数的计算公式解决。可以想象，如果我们把m写成若干个素数乘积的形式，那么m^k就相当于对每一个素数的指数都乘上k。因此k实际上取决于幂次最大的那个素数。那么如何求解p^k'恰好整除n!时候的指数呢？可以利用数论中的定理k'=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...。由于后面无穷项都是0，因此这是一个有限值，可以通

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题要求统计有多少个a,b，使得lcm(a,b)=n，其中n是给定的一个整数。不难发现，这里的a,b一定都是n的约数。根据题目给定的范围，不妨事先计算出所有的约数，。接下来利用二重循环枚举约数即可。注意：由于还要满足a≤b。那么只需要算出不超过sqrt(n)的所有约数即可，剩下的部分可以根据约数的对称性得到。这样的约数肯定不超过1000个，时间可以承受。

1.题目描述：点击打开链接2.解题思路：本题利用唯一分解定理+gcd解决。这是我第一次用Java写题，忙了一下午终于通过了，真是太不容易了==。本题实际上就是把k1,k2分解后，把所有素因子的指数相乘就是答案。然而，k1,k2的范围太大了，高达10^24，为了方便使用大整数，直接上Java。接下来就是考虑如何高效分解k1,k2了，注意到题目中给了一个条件：k1,k2的最大的素因子是相同的，