【莫比乌斯反演】BZOJ2820 YY的GCD

本文介绍了一种基于质数枚举的算法优化方案,通过预处理特定函数的前缀和,实现对复杂表达式的快速求解。该方法将原本的时间复杂度降低至O(n),适用于解决数学问题中的质数相关计算。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题面在这里

这道题类似。

先考虑枚举质数p,答案就是:

pdμ(d)npdmpd

T=pd ,考虑枚举 T ,则有:
Tmin{n,m}nTmTp|Tμ(Tp)

如果能够预处理 p|Tμ(Tp) 关于 T 的前缀和,前面的柿子就可以O(n)求解

其实直接暴枚 p 就好了

因为均摊每个质数是ln(n)的,而质数的个数是 nln(n)

所以预处理是 O(n)

示例程序:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=10000005;
int tst,n,m,p[maxn],mu[maxn],t[maxn];
ll sum[maxn];
bool vis[maxn];
void get_mu(){
    int n=10000000;mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[j]&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
             else mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=p[0];i++)
     for (int j=1;p[i]*j<=n;j++) t[p[i]*j]+=mu[j];
    for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+t[i];
}
ll get(int n,int m){
    if (n>m) swap(n,m);
    ll res=0;
    for (int T=1,lst=0;T<=n;T=lst+1){
        lst=min(n/(n/T),m/(m/T));
        res+=(sum[lst]-sum[T-1])*(n/T)*(m/T);
    }
    return res;
}
int main(){
    scanf("%d",&tst);get_mu();
    while (tst--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",get(n,m));
    }
    return 0;
}
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