【莫比乌斯反演】51Nod 1678 lyk与gcd

最新推荐文章于 2020-06-28 15:03:00 发布

原创最新推荐文章于 2020-06-28 15:03:00 发布 · 860 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#莫比乌斯反演

我的OI历程同时被 3 个专栏收录

259 篇文章

订阅专栏

常见OJ题解专栏

193 篇文章

订阅专栏

51Nod

28 篇文章

订阅专栏

博客介绍了如何利用莫比乌斯反演解决51Nod上的题目1678 lyk与gcd。通过推导，博主展示了在维护f(d)和进行询问时可以达到O(n√n)的复杂度，给出了示例程序。

题面在这里

一开始不会做，在Lynstery大佬的点拨下秒懂了……

首先推柿子：

\sum j = 1 n [g c d (i, j) = 1] a j \Rightarrow \sum j = 1 n a j \sum d | (i, j) μ (d) \Rightarrow \sum d | i μ (d) \sum d | j a j

$\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=1]a_j \\ \Rightarrow \sum_{j=1}^n a_j \sum_{d|(i,j)} \mu(d) \\ \Rightarrow \sum_{d|i} \mu(d) \sum_{d|j} a_j$
把

∑d|jaj $\sum_{d|j} a_j$ 看做是关于d的函数

f(d) $f(d)$

因为 $a_j$ 只对 $j$ 的因子有贡献，修改时暴力维护 $f(d)$ 是 $O(\sqrt n)$ 的

询问也一样，枚举 $i$ 的因子 $d$ ，也可以 $O(\sqrt n)$ 得到答案

总复杂度 $O(n\sqrt n)$

示例程序：

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn=100005,N=maxn-5;
int n,q,a[maxn],mu[maxn],p[maxn];
ll f[maxn];
vector<int> fac[maxn];
bool vis[maxn];
void prepare(){
    mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) {mu[i*p[j]]=0;break;}
             else mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=N;i++)
     for (int j=1;i*j<=N;j++) fac[i*j].push_back(i);
    for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=0;j<fac[i].size();j++)
      f[fac[i][j]]+=a[i];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    prepare();
    while (q--){
        int c;scanf("%d",&c);
        if (c==1){
            int i,b;scanf("%d%d",&i,&b);
            for (int j=0;j<fac[i].size();j++)
             f[fac[i][j]]+=b-a[i];
            a[i]=b;
        }else{
            int i;scanf("%d",&i);ll ans=0;
            for (int j=0;j<fac[i].size();j++)
             ans+=mu[fac[i][j]]*f[fac[i][j]];
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}