BZOJ 2820 YY的GCD （莫比乌斯反演）

最新推荐文章于 2019-11-06 20:09:08 发布

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分类专栏： ACM_莫比乌斯反演 BZOJ 文章标签： BZOJ 莫比乌斯反演

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本文介绍了一道关于求解特定条件下数对数量的问题，并使用莫比乌斯反演进行解答。通过数学推导展示了如何将原问题转化为易于解决的形式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：
BZOJ 2820 权限题

Description
神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题。给定 $N, M$ ,求 $1<=x<=N, 1<=y<=M$ 且 $gcd(x, y)$ 为质数的 $(x, y)$ 有多少对？kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入
Input
第一行一个整数T 表述数据组数
接下来T行，每行两个正整数，表示N, M
Output
T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

Sample Input
2
10 10
100 100

Sample Output
30
2791

HINT
T = 10000
N, M <= 10000000

题解：
莫比乌斯反演。

$\sum_{isprime(p)}\sum_{a=1}^n\sum_{b=1}^mgcd(a,b)==p(n<m)$

$=\sum_{isprime(p)}\sum_{a=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\sum_{b=1}^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor}gcd(a,b)==1$

$=\sum_{isprime(p)}\sum_{a=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\sum_{b=1}^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor}\sum_{d|gcd(a,b)}\mu(d)$

$=\sum_{isprime(p)}\sum_{a=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\sum_{b=1}^{\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor}\sum_{d|a \land d|b}\mu(d)$

$=\sum_{isprime(p)}\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\mu(d){\left \lfloor \frac{n}{pd} \right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{pd} \right \rfloor}$

设 $pd=k$ .
$=\sum_{k=1}^{n}\sum_{isprime(p) \land p|k}\mu(\frac{k}{p}){\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor}$

$\sum_{k=1}^{n}sum(k){\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}{\left \lfloor \frac{m}{k} \right \rfloor}$

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
int T,n,m,tot,mu[N],g[N],sum[N],prime[N/3];
bool check[N];
void mobius()
{
    mu[1]=1;n=1e7+2;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!check[i]){
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            check[i*prime[j]]=1;
            if(!(i%prime[j]))
            {   
                mu[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else 
            {
                mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<tot;i++)
    {
        for(int j=1;j*prime[i]<=n;j++)
        {
            sum[j*prime[i]] += mu[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i] += sum[i-1];
}
ll calc(int n,int m)
{
    if(n>m) swap(n,m);
    ll ans=0;int pos=0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1)
    {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(n/i)*(m/i)*(sum[pos]-sum[i-1]);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    mobius();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",calc(n,m));
    }
    return 0;
}