【矩阵乘法优化DP】BZOJ1875 [SDOI2009]HH去散步

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#矩阵乘法 #DP #BZOJ

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本文介绍了一种使用矩阵乘法优化动态规划的方法，用于解决带限制条件的路径计数问题。通过定义特殊的状态表示经过某条边的状态，并构建相应的转移矩阵，实现了高效的路径计数。

题面在这里

典型的矩阵乘法优化DP

重点在于如何避免走回头路

如果记点为状态的话肯定不好搞

所以定义 $f_{i,j}$ 表示走了i步，走到j这条边的终点的方案数

若边i的终点与边j的起点相同，则 $f_{t,i}$ 可以转移到 $f_{t+1,j}$

由此构造转移矩阵

示例程序：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define cl(x,y) memset(x,y,sizeof(x))

const int maxe=125,tt=45989;
int n,m,k,S,T,ans;
struct data{
    int s,t,id;
    data () {}
    data (int _s,int _t,int _id):s(_s),t(_t),id(_id) {}
}edge[maxe];
struct matrix{
    int n,m,s[maxe][maxe];
}t,a,res;
matrix operator*(const matrix&a,const matrix&b){
    matrix c;cl(c.s,0);
    c.n=a.n;c.m=b.m;
    for (int i=1;i<=c.n;i++)
     for (int j=1;j<=c.m;j++)
      for (int k=1;k<=a.m;k++)
       (c.s[i][j]+=a.s[i][k]*b.s[k][j]%tt)%=tt;
    return c;
}
matrix power(matrix a,int b){
    matrix w=a,ans;
    ans.n=ans.m=m;cl(ans.s,0);
    for (int i=1;i<=m;i++) ans.s[i][i]=1;
    while (b){
        if (b&1) ans=ans*w;
        w=w*w;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&S,&T);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        edge[i*2-1]=data(x,y,i);edge[i*2]=data(y,x,i);
    }m<<=1;
    t.n=t.m=m;
    for (int i=1;i<=m;i++)
     for (int j=1;j<=m;j++)
      if (edge[i].id!=edge[j].id)
       if (edge[i].t==edge[j].s) t.s[j][i]++;
    a.n=m;a.m=1;
    for (int i=1;i<=m;i++)
     if (edge[i].s==S) a.s[i][1]=1;
    res=power(t,k-1)*a;
    for (int i=1;i<=m;i++)
     if (edge[i].t==T) (ans+=res.s[i][1])%=tt;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}