loj6268 分拆数 生成函数+多项式ln+多项式exp

Description

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设f(n)表示正整数n的分拆数，求f(1)~f(n)

Solution

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考虑分拆数的生成函数$F(x)$，就是
$$F(x)=\prod _{i\ge 0}\left(\frac{1}{1-x^i}\right)$$

常规套路就是两边取对数变成加法，于是
$$\ln \left(F(x)\right)=-\sum _{i\ge 1}\ln (1-x^i)$$

考虑对右柿泰勒展开，导数值我们取$x_0=0$，那么
$$\ln \left(F(x)\right)=\sum _{i\ge 1}\sum _{j\ge 1}\frac{x^{ij}}{j}$$
其中用到一个结论是
$$\ln (x+1)=\sum _{n\ge 1}{(-1)}^{n+1}\frac{x^n}{n}$$
上柿是函数$f(x)=\ln (x+1)$的麦克劳林级数，我们把x用$-x^{ij}$带就可以了

因为多项式的界次是n的，因此答案右边的柿子可以nlogn求，我们只需要exp回去就可以了

Code

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口胡博客没有代码