分拆数 【生成函数】

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求整数n的不同拆分方案数

多项式可以做到$O(n\log n)$

窝们先可以得到它的生成函数

$$f(x) = \frac 1{\prod_{i = 1}^n(1 - x^i)}$$
对两边同时取对 $$\ln f(x) = \sum_{i = 1}^n -\ln (1-x^i)$$
右边泰勒展开得到多项式 $$A(x) = \sum_{i=1}^n\sum_{j >=1}\frac {x^{ij}}{j} = \sum_{j >=1}\frac 1j \sum_{i = 1}^n x^{ij}$$
虽然是指数也是可以模掉$x^n$的，所以$ij <=n$，复杂度就是$O(n\log n)$了
现在就只需要求 $$f(x) = e ^ {A(x)}$$
滋磁！

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求 $f(x) = \ln A(x)$ :
设

$$B(A(x)) = \ln(A(x))$$
则有 $$B'(A(x)) = \frac {A'(x)}{A(x)}$$

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求 $f(x) = e^{A(x)}$：

设已经求出了$f(x)$的前n项$f_0(x)$
有

$$f(x) \equiv f_0(x) (mod \ x^n)$$
设 $$g(f(x)) = \ln f(x) - A(x) = 0$$
泰勒展开得 $$0 \equiv g(f_0(x)) + g'(f_0(x))(f(x) - f_0(x)) \ (mod \ x^{2n})$$
所以有 $$f(x) \equiv f_0(x) - \frac {g(f_0(x))}{g'(f_0(x))} \ (mod \ x^{2n})$$
得 $$f(x) = f_0(x) - \frac {\ln f_0(x) - A(x)}{\frac 1{f_0(x)}} = f_0(x)(1 - \ln f_0(x) + A(x))$$

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