【网络流24题】方格取数问题

最新推荐文章于 2022-05-05 00:18:54 发布

hipamp

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分类专栏： # 网络流

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/iamhpp/article/details/104150653

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该博客介绍了如何解决一个棋盘取数问题，目标是在 m*n 的棋盘上选取不相邻的正整数，使得总和最大。通过构建二分图并利用最大流/最小割的方法来求解，最终找到最大独立集，从而得到最大总和。博客提供了问题分析、输入输出样例及解题代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

在一个有 m*n 个方格的棋盘中，每个方格中有一个正整数。现要从方格中取数，使任意 2 个数所在方格没有公共边，且取出的数的总和最大。试设计一个满足要求的取数算法。对于给定的方格棋盘，按照取数要求编程找出总和最大的数。

输入格式

第 1 行有 2 个正整数 m 和 n，分别表示棋盘的行数和列数。接下来的 m 行，每行有 n 个正整数，表示棋盘方格中的数。

输出格式

程序运行结束时，将取数的最大总和输出

输入输出样例

输入 #1

3 3
1 2 3
3 2 3
2 3 1

输出 #1

分析

如果将棋盘黑白染色，黑点放左边，白点放右边，每个黑点向相邻的白点连边，会形成一个二分图。
然后每个点都有点权，我们要选择一些点，这些点之间没有边，使得点权最大。
这是二分图的最大独立集问题，就是选出一些点集，每条边至多选择一个点，使得点权和最大。
和它对立的是二分图的最小覆盖集问题，就是选出一些点集，每条边至少选一个点，使得点权和最小。
显然 最大独立集 = V - 最小覆盖集
我们试着求最小覆盖集问题。
建一个超级源点 $s$ 和超级汇点 $t$ ，从 $s$ 到黑点连边，容量为权值，白点到 $t$ 连边，容量为权值，黑点到白点连容量为 $i n f$ 的边，求最小割，即是最小覆盖集。如图。
在这里插入图片描述
为什么最小割就是答案？
由于中间的边是 $i n f$ ，所以割不掉，只能割掉两边的边。由于割完后图不连通，所以两边至少选择一个点来割掉。因此最小割就是最小覆盖集的权值。
然后由于最大流 = 最小割，求最大流即可。
这算是最小割思想的应用。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1000005
#define inf 2147483647
#define LL long long
using namespace std;
struct node{
   
	int a, b, c, n;
}d[N * 2];
int dep[N], h[N], cur[N], a[105