【网络流24题】 圆桌问题

这篇博客介绍了如何使用网络流算法解决一个实际问题:在国际会议上,如何安排来自不同单位的代表坐在不同餐桌就餐,以便充分交流。文章详细描述了输入输出格式,给出了输入输出样例,并通过建立超级源点和超级汇点的网络模型,利用ISAP算法求解最大流来找出解决方案。

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题目描述

假设有来自m 个不同单位的代表参加一次国际会议。每个单位的代表数分别为ri (i =1,2,……,m)。

会议餐厅共有n 张餐桌,每张餐桌可容纳ci (i =1,2,……,n)个代表就餐。

为了使代表们充分交流,希望从同一个单位来的代表不在同一个餐桌就餐。试设计一个算法,给出满足要求的代表就餐方案。

对于给定的代表数和餐桌数以及餐桌容量,编程计算满足要求的代表就餐方案。

输入格式

第1 行有2 个正整数m 和n,m 表示单位数,n 表示餐桌数,1<=m<=150, 1<=n<=270。

第2 行有m 个正整数,分别表示每个单位的代表数。

第3 行有n 个正整数,分别表示每个餐桌的容量。

输出格式

如果问题有解,第1 行输出1,否则输出0。接下来的m 行给出每个单位代表的就餐桌号。如果有多个满足要求的方案,只要输出1 个方案。

输入输出样例
输入 #1

4 5
4 5 3 5
3 5 2 6 4

输出 #1

1
1 2 4 5
1 2 3 4 5
2 4 5
1 2 3 4 5

分析

建超级源点和超级汇点,源点向每个代表连一条 r i r_i ri 的边,每个桌子向汇点连一条 c i c_i ci 的边,中间是个完全图,如图。
在这里插入图片描述
跑最大流即可。
一个流表示一个代表坐到了一张桌子上。
输出方案的话,看哪些边是 0 0 0 边就好了,说明这条边被流过。
用的是萌萌的 i s a p isap isap 算法求最大流。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define inf 2147483647
using namespace std;
struct node{
   
	int a, b, c, n;
}d[N * 2];
int dep[N], gap[N], h[N], sum, cnt = 1, ans, cu
### 构造用于解决圆桌问题的流网络 在处理圆桌问题时,通过构建特定结构的流网络并应用最大流算法来寻找解决方案是一种有效的方法。具体来说: 对于给定的人数以及座位安排条件,在构造流网络时需要引入虚拟源点 \(s\) 和汇点 \(t\) 来表示人员分配情况下的起点和终点。每个人作为节点加入到该图中,并且每张桌子同样被视作一个独立节点。 为了确保每个人都能够恰好坐在一张桌子上而不违反任何约束条件(比如性别交替),可以按照如下方式建立连接关系[^1]: - **个人至桌子之间的边**:如果某位成员可以选择坐于某个位置,则在这两者间创建一条由前者指向后者的边,其容量设为1,意味着此位置仅能容纳一人就座。 - **桌子内部循环链路**:为了让同一桌上不同席次之间形成闭合路径从而实现轮流而坐的效果,可以在相邻两个座位对应的节点间设置双向边,它们各自拥有单位容量。这有助于模拟实际场景下人们围绕餐桌按顺序排列的情形。 - **特殊链接**:依据实际情况可能还需要额外添加一些特殊的边以辅助计算过程中的流量平衡调整。例如,当涉及到多轮次会议或是存在某些特别规定时,可以通过增加适当权重或方向性的边来进行适应性修改[^3]。 最后一步是确认整个系统的合法性——即检查所得到的最大流值是否正好匹配参与人数总数。只有在这种情况下才能说明找到了一种合理的座位分布方案;反之则表明当前设定条件下无法达成目标配置。 ```python from collections import defaultdict def add_edge(graph, u, v, capacity): graph[u].append((v, len(graph[v]), capacity)) graph[v].append((u, len(graph[u]) - 1, 0)) # reverse edge with zero capacity initially def max_flow_bfs(graph, source, sink): n = len(graph) flow = [0] * n parent = [-1] * n while True: visited = [False] * n queue = [(source, float('inf'))] for (node, path_flow) in queue: if not visited[node]: visited[node] = True if node == sink: break for i, (_, rev_idx, cap) in enumerate(graph[node]): next_node = _[0] if cap > 0 and not visited[next_node]: queue.append((next_node, min(path_flow, cap))) parent[next_node] = (node, i) if not visited[sink]: return sum(flow), graph increment = queue[-1][1] v = sink while v != source: u, idx = parent[v] _, rev_idx, _ = graph[u][idx] graph[u][idx] = (graph[u][idx][0], graph[u][idx][1], graph[u][idx][2] - increment) graph[v][rev_idx] = (graph[v][rev_idx][0], graph[v][rev_idx][1], graph[v][rev_idx][2] + increment) v = u flow[sink] += increment ```
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