FFT（快速傅里叶变换）学习笔记

简介

$FFT$ （法法塔）是个什么玩意？他的全名叫快速傅里叶变换（然而貌似和傅里叶并没有太大关系），用来快速求出多项式的点值表示，这个东西一般用来解决多项式相乘的问题。
一般的高精度乘法，我们有个 $O(n^2)$ 的普及组做法，然而这个做法远远不能满足现代小学生的需求（传言小学生都会FFT）。于是我们要学习更优复杂度的做法，那就是复杂度为 $O(nlogn)$ 的 $FFT$。
下面，就让我们走进快速多项式乘法吧！

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多项式

多项式有两种表示方式：

1. 系数表示
   这也是我们最常见的形式，即 $f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$
2. 点值表示
   对于一个多项式，我们把 $n$ 个不同的 $x$ 代入其系数表示，就得到了其点值表示，即 { (x1,f(x1))....,(xn,f(xn))}\{(x_1,f(x_1))....,(x_n,f(x_n))\}{ (x1​,f(x1​))....,(xn​,f(xn​))}，看起来很 $naive$。。
   若 $h(x)=f(x)g(x)$，则 $h(x_i)=f(x_i)g(x_i)$（这tm不是废话

然而，点值表示是 $FFT$ 的根本。
对于一个点值表示，都能唯一对应一个多项式，具体原因要涉及线性代数的知识，即是范德蒙矩阵可逆，这里略去（根本原因是我忘了怎么证）。这个性质是非常好的，然而，朴素去求 $n$ 个点的点值复杂度是 $O(n^2)$ 的。快速傅里叶变换的思想，就是通过快速求出多项式的点值表示，来实现快速多项式乘法。

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单位根

对于 $x^n=1$ 的解，我们称之为 $n$ 次单位根，表示为 ${\omega }_n$。显然，${\omega }_n^n=1$。（这个真的很显然！！！！！）
这 $n$ 个解，对应的其实是复平面上的 $n$ 个点。（如果你不知道什么为虚数，可以先去百度一发，概括地讲，虚数也是一种数，可以进行加减乘除）

如图，这 $n$ 个点就是 $n$ 个单位根（横轴为实轴，纵轴为虚轴），让我们定义${\omega }_n^0$ 为 $(1,0)$，${\omega }_n^1$ 表示将 ${\omega }_n^0$ 逆时针旋转的第 $1$ 个点，${\omega }_n^k$ 表示将 ${\omega }_n^0$ 逆时针旋转的第 $k$ 个点。实际上，这个 $k$ 也表示 $({\omega }_n^1{)}^k$。

这源自于复数计算的一个性质：复数相乘的二维意义就是模长相乘，幅角相加。
于是，${\omega }_n^n=1$，也可以看作是 ${\omega }_n^1$ 绕了一圈，回到了 $(1,0)$

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DFT（离散傅里叶变换）

既然复数也是一种数，于是我们聪明的傅里叶同学就想到，为什么不将复数代入到多项式中呢？（这是傅里叶唯一的贡献）
于是，对于 $n$ 次多项式，我们将 $n$ 个 $n$ 次单位根代入多项式中，便得到了原来多项式的一种点值表示 { (ωn0,f(ωn0)),(ωn1,f(ωn1)),....,(ωnn−1,f(ωnn−1))}\{(\omega_{n}^{0},f(\omega_{n}^{0})),(\omega_n^1,f(\omega_{n}^{1})),....,(\omega_n^{n-1},f(\omega_n^{n-1}))\}{ (ωn0​,f(ωn0​)),(ωn1​